微分積分例

$h (x) = \cos (\frac{3 x}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{3 x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 x}{2}$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{3}{2}$ と $\sin (\frac{3 x}{2})$ をまとめます。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ です。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$\sin (\frac{3 x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3 x}{2} = 0$

ステップ 2.3.4

分子を0に等しくします。

$3 x = 0$

ステップ 2.3.5

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.5.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.3.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

ステップ 2.3.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.7.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1.1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 2.3.7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

$\frac{2}{3} (π - 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x = \frac{2}{3} π$

ステップ 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ と $π$ をまとめます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.3.8

$\sin (\frac{3 x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 2.3.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.3.8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

ステップ 2.3.8.3

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{2}{3}$

ステップ 2.3.8.5

$2 π \frac{2}{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.8.5.1

$\frac{2}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

ステップ 2.3.8.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} π$

ステップ 2.3.8.5.3

$\frac{4}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{4 π}{3}$

ステップ 2.3.9

$\sin (\frac{3 x}{2})$ 関数の周期が $\frac{4 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{4 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

答えをまとめます。

$x = \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\cos (\frac{3 x}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{3 (0)}{2})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3 (0)$ で因数分解します。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

ステップ 4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

ステップ 4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

ステップ 4.1.2.1.2.4

$3 \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$\cos (3 \cdot (0))$

ステップ 4.1.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 4.1.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 4.2

$x = \frac{2 π}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

ステップ 4.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 π}{3}$ を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1.1

$3$ を $6 π$ で因数分解します。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 4.2.2.3.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

ステップ 4.2.2.3.1.3

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

ステップ 4.2.2.3.1.4

式を書き換えます。

$\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

ステップ 4.2.2.3.2

$2 π$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 4.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 4.2.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$\cos (π)$

ステップ 4.2.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (0)$

ステップ 4.2.2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + \frac{4 π n}{3}, 1), (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

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