微分積分例

$f (x) = \sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + 0$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$

ステップ 1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 + \cos (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 7 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 x + 0 - \sin (x)$

ステップ 2.5

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - \sin (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = 6 - \cos (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $6 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 4.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 4.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 4.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \sin (x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $\sin (x)$ です。

$\sin (x)$

微分積分 例

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