微分積分例

$f (x) = \tan (4 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (4 x) \cdot 4$

ステップ 1.2.3.2

$4$ を $\sec^{2} (4 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 \sec^{2} (4 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{2} (4 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (4 x)$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (4 x)$ で置き換えます。

$4 (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 2.4

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$8 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$8 \sec (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.5

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.6

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 \sec^{2} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.10

$4$ に $8$ をかけます。

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

ステップ 2.12

$32$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sec^{2} (4 x)$ および $g (x) = \tan (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$32 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$32 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.3.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.4

指数を足して $\sec^{2} (4 x)$ に $\sec^{2} (4 x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$\sec^{2} (4 x)$ を移動させます。

$32 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$32 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.4.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$32 (\sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$32 (\sec^{4} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.5.3.2

$4$ を $\sec^{4} (4 x)$ の左に移動させます。

$32 (4 \cdot \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (4 x)$ とします。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

ステップ 3.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

ステップ 3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (4 x)$ で置き換えます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

ステップ 3.7

$2$ を $\tan (4 x)$ の左に移動させます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \cdot \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 3.8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $4 x$ とします。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.8.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.9

$\tan (4 x)$ を $1$ 乗します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.10

$\tan (4 x)$ を $1$ 乗します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 3.13

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.14

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) {\sec (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.17

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.18

$4$ に $2$ をかけます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \cdot 1)$

ステップ 3.20

$8$ に $1$ をかけます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

ステップ 3.21

簡約します。

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ステップ 3.21.1

分配則を当てはめます。

$32 (4 \sec^{4} (4 x)) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

ステップ 3.21.2

項をまとめます。

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ステップ 3.21.2.1

$4$ に $32$ をかけます。

$128 \sec^{4} (4 x) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

ステップ 3.21.2.2

$8$ に $32$ をかけます。

$128 \sec^{4} (4 x) + 256 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

ステップ 3.21.3

項を並べ替えます。

$f''' (x) = 256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$256$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)$ の微分係数は $256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ です。

$256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sec^{2} (4 x)$ および $g (x) = \tan^{2} (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$256 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (4 x)] + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (4 x)$ とします。

$256 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (4 x)$ で置き換えます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.4

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.4.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sec (4 x)$ とします。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sec (4 x)$ で置き換えます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $4 x$ とします。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.8.2

$u_{4}$ に関する $\sec (u_{4})$ の微分係数は $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ です。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.8.3

$u_{4}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.11

$4$ に $1$ をかけます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \cdot 4)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.12

$4$ を $\sec^{2} (4 x)$ の左に移動させます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (4 \cdot \sec^{2} (4 x))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.13

$4$ に $2$ をかけます。

$256 (\sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.14

指数を足して $\sec^{2} (4 x)$ に $\sec^{2} (4 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.14.1

$\sec^{2} (4 x)$ を移動させます。

$256 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.14.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$256 (\sec^{4} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.15

$8$ を $\sec^{4} (4 x)$ の左に移動させます。

$256 (8 \cdot \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.16

$4$ に $1$ をかけます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.17

$4$ を $\sec (4 x) \tan (4 x)$ の左に移動させます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.18

$4$ に $2$ をかけます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.19

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.20

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.23

指数を足して $\tan^{2} (4 x)$ に $\tan (4 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.23.1

$\tan (4 x)$ を移動させます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.23.2

$\tan (4 x)$ に $\tan^{2} (4 x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.23.2.1

$\tan (4 x)$ を $1$ 乗します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.23.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 2} (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.23.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{3} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.2.24

$8$ を $\tan^{3} (4 x)$ の左に移動させます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $128 \sec^{4} (4 x)$ の微分係数は $128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$ です。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sec (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{5}$ を $\sec (4 x)$ とします。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 4.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ は $n {u_{5}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 4.3.2.3

$u_{5}$ のすべての発生を $\sec (4 x)$ で置き換えます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{6}$ を $4 x$ とします。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 4.3.3.2

$u_{6}$ に関する $\sec (u_{6})$ の微分係数は $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ です。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 4.3.3.3

$u_{6}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 4.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))$

ステップ 4.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))$

ステップ 4.3.7

$4$ を $\sec (4 x) \tan (4 x)$ の左に移動させます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))$

ステップ 4.3.8

$4$ に $4$ をかけます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))$

ステップ 4.3.9

$\sec (4 x)$ を $1$ 乗します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 (\sec^{1} (4 x) \sec^{3} (4 x)) \tan (4 x))$

ステップ 4.3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 {\sec (4 x)}^{1 + 3} \tan (4 x))$

ステップ 4.3.11

$1$ と $3$ をたし算します。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x))$

ステップ 4.3.12

$16$ に $128$ をかけます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$8$ に $256$ をかけます。

$2048 (\sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

ステップ 4.4.2.2

$8$ に $256$ をかけます。

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 (\tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

ステップ 4.4.2.3

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ と $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$ です。

$4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

微分積分 例

微分積分例