微分積分例

$f (x) = 3 \sin (2 x) - 3 \cos (4 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 \sin (2 x) - 3 \cos (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (2 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$3 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$3 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$3 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (4 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (4 x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ です。

$6 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$6 \cos (2 x) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$6 \cos (2 x) - 3 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$6 \cos (2 x) - 3 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \cos (2 x) - 3 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cos (2 x) - 3 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (2 x) - 3 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

ステップ 1.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$6 \cos (2 x) - 3 (- 4 \sin (4 x))$

ステップ 1.3.7

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 6 \cos (2 x) + 12 \sin (4 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 \cos (2 x) + 12 \sin (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (2 x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$6 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$6 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$6 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.2.7

$- 2$ に $6$ をかけます。

$- 12 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [12 \sin (4 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 \sin (4 x)$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ です。

$- 12 \sin (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\cos (4 x) (4 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (\cos (4 x) \cdot 4)$

ステップ 2.3.6

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$- 12 \sin (2 x) + 12 (4 \cdot \cos (4 x))$

ステップ 2.3.7

$4$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x) + 48 \cos (4 x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 12 \sin (2 x) + 48 \cos (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$- 12 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$- 12 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$- 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.2.7

$2$ に $- 12$ をかけます。

$- 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [48 \cos (4 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 \cos (4 x)$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ です。

$- 24 \cos (2 x) + 48 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

ステップ 3.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 24 \cos (2 x) + 48 (- 4 \sin (4 x))$

ステップ 3.3.7

$- 4$ に $48$ をかけます。

$f''' (x) = - 24 \cos (2 x) - 192 \sin (4 x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $- 24 \cos (2 x) - 192 \sin (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 \cos (2 x)$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$- 24 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- 24 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 24 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 24 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.2.7

$- 2$ に $- 24$ をかけます。

$48 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- 192 \sin (4 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 192$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 192 \sin (4 x)$ の微分係数は $- 192 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ です。

$48 \sin (2 x) - 192 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$48 \sin (2 x) - 192 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$48 \sin (2 x) - 192 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$48 \sin (2 x) - 192 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$48 \sin (2 x) - 192 (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 \sin (2 x) - 192 (\cos (4 x) (4 \cdot 1))$

ステップ 4.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$48 \sin (2 x) - 192 (\cos (4 x) \cdot 4)$

ステップ 4.3.6

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$48 \sin (2 x) - 192 (4 \cdot \cos (4 x))$

ステップ 4.3.7

$4$ に $- 192$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 \sin (2 x) - 768 \cos (4 x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $48 \sin (2 x) - 768 \cos (4 x)$ です。

$48 \sin (2 x) - 768 \cos (4 x)$

微分積分 例

微分積分例