微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} - 10 x - \frac{9}{x^{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{2} - 10 x - \frac{9}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.3.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$8 x - 10 + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{9}{x^{3}}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$8 x - 10 - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 x - 10 - 9 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$8 x - 10 - 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 10 - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$8 x - 10 - 9 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 10 - 9 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 1.4.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 x - 10 - 9 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 1.4.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$8 x - 10 - 9 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 1.4.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$8 x - 10 - 9 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 1.4.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$8 x - 10 - 9 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 1.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x - 10 - 9 (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 1.4.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$8 x - 10 - 9 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 1.4.8

$- 3$ に $- 9$ をかけます。

$8 x - 10 + 27 x^{- 4}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 x - 10 + 27 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.5.2

$27$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$8 x - 10 + \frac{27}{x^{4}}$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 8 x + \frac{27}{x^{4}} - 10$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $8 x + \frac{27}{x^{4}} - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{27}{x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{27}{x^{4}}$ の微分係数は $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$8 + 27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 + 27 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$8 + 27 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 + 27 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$8 + 27 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 + 27 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 + 27 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$8 + 27 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$8 + 27 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$8 + 27 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 + 27 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$8 + 27 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.3.8

$- 4$ に $27$ をかけます。

$8 - 108 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 10]$

ステップ 2.4

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$8 - 108 x^{- 5} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 - 108 \frac{1}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- 108$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$8 + \frac{- 108}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$8 - \frac{108}{x^{5}} + 0$

ステップ 2.5.2.3

$8 - \frac{108}{x^{5}}$ と $0$ をたし算します。

$8 - \frac{108}{x^{5}}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{108}{x^{5}} + 8$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- \frac{108}{x^{5}} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{108}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{108}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{108}{x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 108$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{108}{x^{5}}$ の微分係数は $- 108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$- 108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 108 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$- 108 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 108 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$- 108 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 108 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.5

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 108 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$- 108 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 108 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.7

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$- 108 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 108 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.7.3

$4$ から $10$ を引きます。

$- 108 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.8

$- 5$ に $- 108$ をかけます。

$540 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$540 x^{- 6} + 0$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$540 \frac{1}{x^{6}} + 0$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$540$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$\frac{540}{x^{6}} + 0$

ステップ 3.4.2.2

$\frac{540}{x^{6}}$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = \frac{540}{x^{6}}$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $\frac{540}{x^{6}}$ です。

$\frac{540}{x^{6}}$

微分積分 例

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