微分積分例

$y = 2 x^{2} + \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{2} + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 - x^{- 2}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

微分積分 例

微分積分例