微分積分例

$f''' (\frac{1}{6}) = \sqrt{6 t + 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 t + 3}$ を ${(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 6 t + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 t + 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $6 t + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 1.8

総和則では、 $6 t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 1.9

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 1.11

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 1.12

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

ステップ 1.13

項を簡約します。

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ステップ 1.13.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

ステップ 1.13.2

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

共通因数を約分します。

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ステップ 1.14.1

$2$ を $2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14.3

式を書き換えます。

$f' (t) = \frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d t} [{({(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 3)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 \frac{d}{d t} [{(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ および $g (t) = 6 t + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 t + 3$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $6 t + 3$ で置き換えます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{2} {(6 t + 3)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.7.2

${(6 t + 3)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 (- \frac{{(6 t + 3)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 t + 3)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (- \frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.7.3.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 3])$

ステップ 2.7.4

$\frac{1}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 2.7.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 3]$

ステップ 2.8

総和則では、 $6 t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 2.9

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 2.11

$6$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [3])$

ステップ 2.12

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} (6 + 0)$

ステップ 2.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 6$

ステップ 2.13.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 \frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.13.3

$- 6$ と $\frac{3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 3}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.13.4

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 18}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.13.5

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$2$ を $2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 9}{2 ({(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- 9}{{(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.15

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (t) = - \frac{9}{{(6 t + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例