微分積分例

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \ln (2 x)$ および $g (x) = x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

ステップ 1.2

${(x^{6})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{2 x}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.2

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ と $\frac{x^{5}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.4.2.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.6

$x^{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

ステップ 1.4.7

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

ステップ 1.4.8

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

ステップ 1.4.8.2

$x^{5}$ を $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

ステップ 1.4.8.2.2

$x^{5}$ を $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

ステップ 1.4.8.2.3

$x^{5}$ を $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

ステップ 1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x^{5}$ を $x^{12}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

対数の中の $6$ を移動させて $- 6 \ln (2 x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

ステップ 1.6.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

ステップ 1.6.3

$2$ を $6$ 乗します。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = 1 - \ln (64 x^{6})$ および $g (x) = x^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(x^{7})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $1 - \ln (64 x^{6})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ です。

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ をたし算します。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (64 x^{6})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ です。

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 64 x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $64 x^{6}$ とします。

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $64 x^{6}$ で置き換えます。

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{7}$ と $\frac{1}{64 x^{6}}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.2

$x^{7}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{6}$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$x^{6}$ を $64 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.3

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 x^{6}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$64$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.2

$- 64$ と $\frac{x}{64}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.3

$- 64$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.3.1

$64$ を $- 64 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.3.2.1

$64$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.4.3.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.4.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.5

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.5.2

$x^{5}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.5.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

ステップ 2.6

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

ステップ 2.7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

ステップ 2.7.2

$x^{6}$ を $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$x^{6}$ を $- 6 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

ステップ 2.7.2.2

$x^{6}$ を $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

ステップ 2.7.2.3

$x^{6}$ を $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ で因数分解します。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

ステップ 2.8

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$x^{6}$ を $x^{14}$ で因数分解します。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

ステップ 2.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

ステップ 2.8.3

式を書き換えます。

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

ステップ 2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.2

$- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.2.1

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.2.2

対数の中の $7$ を移動させて $7 \ln (64 x^{6})$ を簡約します。

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.3

積の法則を $64 x^{6}$ に当てはめます。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.4

$64$ を $7$ 乗します。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.5

${(x^{6})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.1.5.2

$6$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

ステップ 2.9.2.2

$- 6$ から $7$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

微分積分 例

微分積分例