微分積分例

$y = \frac{4 x + 5}{2 x - 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 4 x + 5$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1) (4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x - 1) (4 + 0) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x - 1) \cdot 4 - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$4$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (2 x - 1) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.12

式を簡約します。

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ステップ 1.2.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (2 x - 1) - (4 x + 5) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (2 x - 1) - 2 (4 x + 5)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot - 1 - 2 (4 x + 5)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot - 1 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$4 (2 x) + 4 \cdot - 1 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.3.1.1

$4 (2 x)$ と $- 2 (4 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot - 1 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2 \cdot 4 x$ から $2 \cdot 4 x$ を引きます。

$\frac{4 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.3

$4 \cdot - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot - 1 - 2 \cdot 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4 - 2 \cdot 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2.2

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 4 - 10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

$- 4$ から $10$ を引きます。

$\frac{- 14}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{14}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$- 14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{14}{{(2 x - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ です。

$- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ を ${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 14 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(2 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 14 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 14 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 1$ とします。

$- 14 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 14 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- 14 (- 2 {(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $- 14$ をかけます。

$28 ({(2 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} (2 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$28 {(2 x - 1)}^{- 3} \cdot 2$

ステップ 2.3.7.2

$2$ に $28$ をかけます。

$56 {(2 x - 1)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$56 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

$56$ と $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{56}{{(2 x - 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例