微分積分例

$y = 7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $7$ をかけます。

$14 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$14 x + 2 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{4 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$14 x + 2 - \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 1.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$14 x + 2 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$14 x + 2 - (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.4.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$14 x + 2 - (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 1.4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 1.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$14 x + 2 - (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 1.4.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$14 x + 2 - (4 \cdot e^{4 x})$

ステップ 1.4.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 14 x + 2 - 4 e^{4 x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $14 x + 2 - 4 e^{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [14 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

ステップ 2.2.3

$14$ に $1$ をかけます。

$14 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$14 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 e^{4 x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$14 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$14 + 0 - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$14 + 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 2.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 2.4.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$14 + 0 - 4 (4 \cdot e^{4 x})$

ステップ 2.4.7

$4$ に $- 4$ をかけます。

$14 + 0 - 16 e^{4 x}$

ステップ 2.5

$14$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 14 - 16 e^{4 x}$

微分積分 例

微分積分例