微分積分例

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$\sec^{2} (2 x + 1)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

ステップ 1.3.7

項を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

ステップ 1.3.7.2

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ を $\sec^{2} (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

ステップ 1.3.7.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.7.4.1

$2$ を $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

ステップ 1.3.7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.7.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.7.4.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (2 x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (2 x + 1)$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (2 x + 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

ステップ 2.3

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

ステップ 2.3.2

$\sec (2 x + 1)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

ステップ 2.3.3

$2$ を $\sec (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

ステップ 2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

ステップ 2.3.4.2

$\sec (2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

ステップ 2.4

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x + 1$ とします。

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.4.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.5

$\sec (2 x + 1)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.6

$\sec (2 x + 1)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 2.9

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.12

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

ステップ 2.14

式を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

ステップ 2.14.2

$2$ を $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

微分積分 例

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