微分積分例

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 + \frac{4}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $7 + \frac{4}{x}$ で置き換えます。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $7 + \frac{4}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ です。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

ステップ 1.2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ をたし算します。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

ステップ 1.2.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2.5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

ステップ 1.2.7

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 16$ をまとめます。

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{- 16}{x^{2}}$ と ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

積の法則を $\frac{7 x + 4}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

$16$ と $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.3.6

まとめる。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

ステップ 1.3.7

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

ステップ 1.3.7.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

ステップ 1.3.8

$16 {(7 x + 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ です。

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 2.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 7 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 4$ とします。

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 4$ で置き換えます。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

総和則では、 $7 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.4

$7$ に $1$ をかけます。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.6

式を簡約します。

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ステップ 2.5.6.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.6.2

$7$ に $3$ をかけます。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5.7

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.5.8

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.8.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 2.5.8.2

$- 16$ と $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ をまとめます。

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.5.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ を $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.2.1.1

$16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ を $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.1.2

$16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ を $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.1.3

$16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ を $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.2

$21$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.4

$7$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.5

$- 5$ に $4$ をかけます。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.6

$21 x$ から $35 x$ を引きます。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.7

$2$ を $- 14 x - 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.7.1

$2$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.7.2

$2$ を $- 20$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.7.3

$2$ を $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ で因数分解します。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.2.8

$2$ に $16$ をかけます。

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

ステップ 2.6.3

$x^{4}$ と $x^{10}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

$x^{4}$ を $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ で因数分解します。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

ステップ 2.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.2.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 2.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 2.6.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

ステップ 2.6.4

$- 1$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

ステップ 2.6.5

$- 10$ を $- 1 (10)$ に書き換えます。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

ステップ 2.6.6

$- 1$ を $- (7 x) - 1 (10)$ で因数分解します。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 2.6.7

$- (7 x + 10)$ を $- 1 (7 x + 10)$ に書き換えます。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 2.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

ステップ 2.6.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

ステップ 2.6.10

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

ステップ 2.6.11

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例