微分積分例

$f (x) = 6 + x - x^{2}$ ; $[0, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $6 + x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1 - (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 - 2 x$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 - 2 x$

ステップ 1.1.1.3.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 1$ です。

$- 2 x + 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 1$

ステップ 1.2.3

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $6 + x - x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$6 + \frac{1}{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

$6 + \frac{1}{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$6 + \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$6 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$6 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母を求めます。

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ステップ 1.4.1.2.3.1

$6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{6}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.3

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \cdot 4 + 2 - 1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.5.1

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 + 2 - 1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$24$ と $2$ をたし算します。

$\frac{26 - 1}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

$26$ から $1$ を引きます。

$\frac{25}{4}$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{2}, \frac{25}{4})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$6 + 0 - {(0)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$6 + 0 - {(0)}^{2}$

ステップ 2.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 + 0 - 0$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$6 + 0 + 0$

ステップ 2.1.2.3

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$6 + 0$

ステップ 2.1.2.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 2.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$6 + 3 - {(3)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

括弧を削除します。

$6 + 3 - {(3)}^{2}$

ステップ 2.2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$6 + 3 - 1 \cdot 9$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$6 + 3 - 9$

ステップ 2.2.2.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$6$ と $3$ をたし算します。

$9 - 9$

ステップ 2.2.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 6), (3, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{1}{2}, \frac{25}{4})$

最小値： $(3, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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