微分積分例

$y = arcsec (x) - 6 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $arcsec (x) - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $arcsec (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.6

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.12

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.15

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.16

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.17

$2$ と $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.18

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.20

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.21

式を書き換えます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.22

$x$ と $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.23

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.24

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.26

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.27

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.28

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.29

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.30

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.30.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.30.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.30.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.30.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.31

${(x^{2} - 1)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.32

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.33

$\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.34

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.3

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

積の法則を $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

ステップ 2.4.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

ステップ 2.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

ステップ 2.4.2.2

簡約します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

ステップ 2.4.2.3

指数を足して ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$x^{2} - 1$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.3.2

$x^{2} - 1$ に ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.1

$x^{2} - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.3.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2.4

$- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

ステップ 2.4.3

$- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 = 0$

ステップ 4

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ をかけます。

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.2

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.3

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.4

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ を $(x + 1) (x - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.3.7.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

書き換えます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.2

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.3

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.4

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ を $(x + 1) (x - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.7.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 6 = 0$

ステップ 4.1.4.8

不要な括弧を削除します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 6 = 0$

ステップ 4.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 6 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 6$ と $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 6 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x^{2} - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x^{2} - 6 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 6 x^{2} - 6 x) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} (x - 1) - 6 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.1.4

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.2

$6 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 0 + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 4.4.5.3

$- 6 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 5

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 1.01343291$

ステップ 6

$x = 1.01343291$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 {(1.01343291)}^{2} - 1}{{(1.01343291)}^{2} {({(1.01343291)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$1.01343291$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot 1.02704627 - 1}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.1.2

$2$ に $1.02704627$ をかけます。

$- \frac{2.05409255 - 1}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.1.3

$2.05409255$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1.05409255}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$1.01343291$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.2

$1.01343291$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 {(1.02704627 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.3

$1.02704627$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.02704627}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4

$0.02704627$ を ${0.16445752}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {({0.16445752}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 7.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 7.2.6.2

式を書き換えます。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{3}}$

ステップ 7.2.7

$0.16445752$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot 0.00444796}$

ステップ 7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$1.02704627$ に $0.00444796$ をかけます。

$- \frac{1.05409255}{0.00456826}$

ステップ 7.3.2

$1.05409255$ を $0.00456826$ で割ります。

$- 1 \cdot 230.74245167$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $230.74245167$ をかけます。

$- 230.74245167$

ステップ 8

$x = 1.01343291$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1.01343291$ は極大値です

ステップ 9

$x = 1.01343291$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1.01343291$ で置換えます。

$f (1.01343291) = arcsec (1.01343291) - 6 \cdot 1.01343291$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$arcsec (1.01343291)$ の値を求めます。

$f (1.01343291) = 0.16299847 - 6 \cdot 1.01343291$

ステップ 9.2.1.2

$- 6$ に $1.01343291$ をかけます。

$f (1.01343291) = 0.16299847 - 6.0805975$

ステップ 9.2.2

$0.16299847$ から $6.0805975$ を引きます。

$f (1.01343291) = - 5.91759902$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- 5.91759902$ です。

$y = - 5.91759902$

ステップ 10

$f (x) = arcsec (x) - 6 x$ の極値です。

$(1.01343291, - 5.91759902)$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例