微分積分例

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.3

${(x + 4)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.2

$x + 4$ を $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ で因数分解します。

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.3

$x + 4$ を $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ で因数分解します。

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{4}$ で因数分解します。

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.6.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.6.3

式を書き換えます。

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.10

項を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.4

$4$ と $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11

簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.11.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.3

$4$ を $- 4 x + 16$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.11.3.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.3.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (4)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.5

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.7

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.11.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ です。

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$4 (x - 4) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$4 (x - 4) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x - 4$ を $1$ で割ります。

$x - 4 = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{16}{8^{2}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{64}$

ステップ 4.1.2.3

$16$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.3.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{16 (1)}{64}$

ステップ 4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$16$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$\frac{4 (- 4)}{{((- 4) + 4)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 (- 4)}{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 (- 4)}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, \frac{1}{4})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例