微分積分例

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ です。

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

ステップ 1.1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = 3 t^{2} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.2

$3 t^{2} + 27$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $3 t^{2} + 27$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ です。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.6

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.7

$27$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.8.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.5

$t$ を $1$ 乗します。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.8

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

ステップ 1.1.9

$4$ と $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.2.2

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.3.1

$12$ を $- 12 t^{2} + 108$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.3.1.1

$12$ を $- 12 t^{2}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3.1.2

$12$ を $108$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3.1.3

$12$ を $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3.3

$- t^{2}$ と $3^{2}$ を並べ替えます。

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = t$ です。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.4.1

$3$ を $3 t^{2} + 27$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.4.1.1

$3$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.4.1.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.4.1.3

$3$ を $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

ステップ 1.1.10.4.2

積の法則を $3 (t^{2} + 9)$ に当てはめます。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.4.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.5

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.5.1

$3$ を $12 (3 + t) (3 - t)$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.10.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.5.2.1

$3$ を $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

ステップ 1.1.10.5.2.2

共通因数を約分します。

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

ステップ 1.1.10.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

ステップ 2.3

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

ステップ 2.3.2

$3 + t$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3 + t$ が $0$ に等しいとします。

$3 + t = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$t = - 3$

ステップ 2.3.3

$3 - t$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 - t$ が $0$ に等しいとします。

$3 - t = 0$

ステップ 2.3.3.2

$t$ について $3 - t = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- t = - 3$

ステップ 2.3.3.2.2

$- t = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$- t = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$t = 3$

ステップ 2.3.4

最終解は $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = - 3, 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$t = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 3$ を $t$ に代入します。

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ と $3 {(- 3)}^{2} + 27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$3$ を $4 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

ステップ 4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$3$ を $3 {(- 3)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$3$ を $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

ステップ 4.1.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

ステップ 4.1.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

ステップ 4.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

ステップ 4.1.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 4}{9 + 9}$

ステップ 4.1.2.3.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{- 4}{18}$

ステップ 4.1.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$- 4$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2)}{18}$

ステップ 4.1.2.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{9}$

ステップ 4.1.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{9}$

ステップ 4.2

$t = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ を $t$ に代入します。

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$3$ と $3 {(3)}^{2} + 27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$3$ を $4 (3)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

ステップ 4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$3$ を $3 {(3)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.1.2.3

$3$ を $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

ステップ 4.2.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

ステップ 4.2.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

ステップ 4.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{9 + 9}$

ステップ 4.2.2.2.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{4}{18}$

ステップ 4.2.2.3

$4$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{18}$

ステップ 4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{9}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例