微分積分例

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ です。

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $2 \sec (θ)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ です。

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

ステップ 1.1.2.2

$θ$ に関する $\sec (θ)$ の微分係数は $\sec (θ) \tan (θ)$ です。

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

ステップ 1.1.3

$θ$ に関する $\tan (θ)$ の微分係数は $\sec^{2} (θ)$ です。

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

ステップ 1.2

$θ$ に関する $f (θ)$ の一次導関数は $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ です。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.2

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\sec^{2} (θ)$ を $1 + \tan^{2} (θ)$ で置き換えます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.5

指数を足して $\tan (θ)$ に $\tan^{2} (θ)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1

$\tan^{2} (θ)$ を移動させます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

ステップ 2.5.2

$\tan^{2} (θ)$ に $\tan (θ)$ をかけます。

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ステップ 2.5.2.1

$\tan (θ)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

ステップ 2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

ステップ 2.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

ステップ 2.6

多項式を並べ替えます。

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

ステップ 2.7

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$2 \sec (θ) \tan (θ)$ を $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.1.1.1

$2 \sec (θ) \tan (θ)$ を $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ で因数分解します。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

ステップ 2.7.1.1.2

$2 \sec (θ) \tan (θ)$ を $2 \sec (θ) \tan (θ)$ で因数分解します。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

ステップ 2.7.1.1.3

$2 \sec (θ) \tan (θ)$ を $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ で因数分解します。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

ステップ 2.7.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.7.1.3

指数を足して $\sec (θ)$ に $\sec^{2} (θ)$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.3.1

$\sec^{2} (θ)$ を移動させます。

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

ステップ 2.7.1.3.2

$\sec^{2} (θ)$ に $\sec (θ)$ をかけます。

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ステップ 2.7.1.3.2.1

$\sec (θ)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

ステップ 2.7.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

ステップ 2.7.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

ステップ 2.8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

ステップ 2.9

$\sec^{3} (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 2.9.1

$\sec^{3} (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec^{3} (θ) = 0$

ステップ 2.9.2

$θ$ について $\sec^{3} (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.9.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.9.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.9.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (θ) = 0$

ステップ 2.9.2.3

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.10

$\tan (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 2.10.1

$\tan (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) = 0$

ステップ 2.10.2

$θ$ について $\tan (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.10.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (0)$

ステップ 2.10.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.10.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 2.10.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$θ = π + 0$

ステップ 2.10.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$θ = π$

ステップ 2.10.2.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.10.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.10.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.10.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.10.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.10.2.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.11

最終解は $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.12

答えをまとめます。

$θ = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sec (θ)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $θ$ における $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$θ = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $θ$ に代入します。

$2 \sec (0) + \tan (0)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \tan (0)$

ステップ 4.1.2.1.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$θ = π$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$π$ を $θ$ に代入します。

$2 \sec (π) + \tan (π)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

ステップ 4.2.2.1.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + \tan (π)$

ステップ 4.2.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 - \tan (0)$

ステップ 4.2.2.1.5

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 - 0$

ステップ 4.2.2.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

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