微分積分例

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = \sin^{2} (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.6

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.6.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.6.2

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 1.1.2.6.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.7

$- 1$ を $\sin^{3} (x)$ の左に移動させます。

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.8

$- 1 \sin^{3} (x)$ を $- \sin^{3} (x)$ に書き換えます。

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ です。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$3 \sin (x)$ を $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 \sin (x)$ を $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$3 \sin (x)$ を $- 6 \sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 \sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.5

$3 \sin (x)$ を $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $4 \cos^{2} (x)$ を $4 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$4$ から $1$ を引きます。

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 2.5.2.3.2

$- 4 \sin^{2} (x)$ から $2 \sin^{2} (x)$ を引きます。

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 2.5.2.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 2.5.2.5

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.1

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1

$- 3$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1.1

$- 3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.5.3.1.2.1

$- 3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.2.7

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.7.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.2.7.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.5.2.7.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.10

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.5.2.10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.5.2.10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.10.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4

$π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.10.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.2.10.4.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.10.4.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.5.2.10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.2.10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.10.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.11

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.5.2.11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.5.2.11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.5.2.11.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.4.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

ステップ 2.5.2.11.4.2

$\frac{5 π}{4}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{4} + π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.11.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

ステップ 2.5.2.11.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.6.3.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.11.6.4.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 2.5.2.11.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.12

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2.13

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$6 \sin^{2} (0) \cos (0) + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$6 \cdot 0^{2} \cos (0) + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 \cos (0) + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$0 \cos (0) + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 \cos (0)$

ステップ 4.1.2.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.7

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 4.2

$x = π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$6 \sin^{2} (π) \cos (π) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 \sin^{2} (0) \cos (π) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$6 \cdot 0^{2} \cos (π) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 \cos (π) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.4

$6$ に $0$ をかけます。

$0 \cos (π) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 (- \cos (0)) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 (- 1 \cdot 1) + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.7

$0 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.7.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 3 \cos (π)$

ステップ 4.2.2.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 3 (- \cos (0))$

ステップ 4.2.2.1.9

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.2.1.10

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 \cdot - 1$

ステップ 4.2.2.1.10.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 3$

ステップ 4.2.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$- 3$

ステップ 4.3

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$6 \sin^{2} (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$6 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$6 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$6 \frac{2^{1}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$6 \frac{2}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (\frac{2}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{2}{4} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.5.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{2}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.6

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.8

$6$ を $2$ で割ります。

$3 \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.9

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.10

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.11

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.1.12

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.2.2

$3 \sqrt{2}$ と $3 \sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.2.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.1

$2$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 4.3.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 4.3.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 4.3.2.2.3.2.4

$3 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$3 \sqrt{2}$

ステップ 4.4

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$6 \sin^{2} (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 \sin^{2} (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$6 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.3

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$6 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$6 \frac{2^{1}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.4.5

指数を求めます。

$6 \frac{2}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (\frac{2}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.6.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{2}{4} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.6.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{2}{2}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.7

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.8

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.9

$6$ を $2$ で割ります。

$3 \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$3 (- \cos (\frac{π}{4})) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.11

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.12

$3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.12.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.12.2

$- 3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.4.2.1.14

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.4.2.1.15

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.4.2.1.16

$3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.16.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.2.1.16.2

$- 3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.2.1.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.2.2.2

$- 3 \sqrt{2}$ から $3 \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 6 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4.2.2.3

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.3.1

$2$ を $- 6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 4.4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 4.4.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 4.4.2.2.3.2.4

$- 3 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- 3 \sqrt{2}$

ステップ 4.5

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 3), (\frac{π}{4} + π n, 3 \sqrt{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - 3 \sqrt{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例