微分積分例

$6 x + \sin (6 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $6 x + \sin (6 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.1.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x$ とします。

$6 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$6 + \cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$6 + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 + \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 + \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \cos (6 x) \cdot 6$

ステップ 1.1.3.5

$6$ を $\cos (6 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 6 + 6 \cos (6 x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 + 6 \cos (6 x)$ です。

$6 + 6 \cos (6 x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 + 6 \cos (6 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 + 6 \cos (6 x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$6 \cos (6 x) = - 6$

ステップ 2.3

$6 \cos (6 x) = - 6$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 \cos (6 x) = - 6$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\cos (6 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (6 x) = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 6$ を $6$ で割ります。

$\cos (6 x) = - 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$6 x = \arccos (- 1)$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$6 x = π$

ステップ 2.6

$6 x = π$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.1

$6 x = π$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

ステップ 2.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 2.7

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$6 x = 2 π - π$

ステップ 2.8

$x$ について解きます。

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ステップ 2.8.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$6 x = π$

ステップ 2.8.2

$6 x = π$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$6 x = π$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

ステップ 2.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 2.9

$\cos (6 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.9.2

周期の公式の $b$ を $6$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 6 |}$

ステップ 2.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $6$ の間の距離は $6$ です。

$\frac{2 π}{6}$

ステップ 2.9.4

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{6}$

ステップ 2.9.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{3}$

ステップ 2.10

$\cos (6 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $6 x + \sin (6 x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{π}{6}$ を $x$ に代入します。

$6 (\frac{π}{6}) + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$π + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.1.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$π + \sin (6 \frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

式を書き換えます。

$π + \sin (π)$

ステップ 4.1.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$π + \sin (0)$

ステップ 4.1.2.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π + 0$

ステップ 4.1.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π$

ステップ 4.2

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$6 (\frac{π}{2}) + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

ステップ 4.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

ステップ 4.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$3 π + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$3 π + \sin (2 (3) \frac{π}{2})$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$3 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{π}{2})$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$3 π + \sin (3 π)$

ステップ 4.2.2.1.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$3 π + \sin (π)$

ステップ 4.2.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$3 π + \sin (0)$

ステップ 4.2.2.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 π + 0$

ステップ 4.2.2.2

$3 π$ と $0$ をたし算します。

$3 π$

ステップ 4.3

$x = \frac{5 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{5 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$6 (\frac{5 π}{6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 4.3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$5 π + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 4.3.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$5 π + \sin (6 \frac{5 π}{6})$

ステップ 4.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$5 π + \sin (5 π)$

ステップ 4.3.2.1.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$5 π + \sin (π)$

ステップ 4.3.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$5 π + \sin (0)$

ステップ 4.3.2.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 π + 0$

ステップ 4.3.2.2

$5 π$ と $0$ をたし算します。

$5 π$

ステップ 4.4

$x = \frac{7 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{7 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$6 (\frac{7 π}{6}) + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{7 π}{6} + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 4.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$7 π + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 4.4.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$7 π + \sin (6 \frac{7 π}{6})$

ステップ 4.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$7 π + \sin (7 π)$

ステップ 4.4.2.1.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$7 π + \sin (π)$

ステップ 4.4.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$7 π + \sin (0)$

ステップ 4.4.2.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$7 π + 0$

ステップ 4.4.2.2

$7 π$ と $0$ をたし算します。

$7 π$

ステップ 4.5

$x = \frac{3 π}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{3 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$6 (\frac{3 π}{2}) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 4.5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 4.5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$3 (3 π) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 4.5.2.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$9 π + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 4.5.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$9 π + \sin (2 (3) \frac{3 π}{2})$

ステップ 4.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$9 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{3 π}{2})$

ステップ 4.5.2.1.3.3

式を書き換えます。

$9 π + \sin (3 (3 π))$

ステップ 4.5.2.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$9 π + \sin (9 π)$

ステップ 4.5.2.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$9 π + \sin (π)$

ステップ 4.5.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$9 π + \sin (0)$

ステップ 4.5.2.1.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$9 π + 0$

ステップ 4.5.2.2

$9 π$ と $0$ をたし算します。

$9 π$

ステップ 4.6

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{6}, π), (\frac{π}{2}, 3 π), (\frac{5 π}{6}, 5 π), (\frac{7 π}{6}, 7 π), (\frac{3 π}{2}, 9 π)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例