微分積分例

$\frac{x}{6} \tan^{2} (\frac{x}{6})$

ステップ 1

$\frac{x}{6}$ と $\tan^{2} (\frac{x}{6})$ をまとめます。

$\int \frac{x \tan^{2} (\frac{x}{6})}{6} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int x \tan^{2} (\frac{x}{6}) d x$

ステップ 3

$u = x$ と $d v = \tan^{2} (\frac{x}{6})$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - \int - x + 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x)$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (\int - x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- \int x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

ステップ 7

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

ステップ 8

$u = \frac{1}{6} x$ とします。次に $d u = \frac{1}{6} d x$ すると、 $6 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \frac{1}{6} x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{6} x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x]$

ステップ 8.1.2

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6} x$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

ステップ 9.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{6}$ で割ります。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) (1 \cdot 6) d u))$

ステップ 9.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \cdot 6 d u))$

ステップ 9.5

$6$ を $\tan (u)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int 6 \tan (u) d u))$

ステップ 10

$6$ は $u$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (6 \int \tan (u) d u)))$

ステップ 11

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 \int \tan (u) d u))$

ステップ 12

$\tan (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sec (u) |)$ です。

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 (\ln (| \sec (u) |) + C)))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$\frac{1}{6} (- x^{2} + 6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2.2

$- x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- 2 x^{2} + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2.5

$- 2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 13.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{6} x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |)) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3

簡約します。

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ステップ 15.3.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.1.1

$6$ を $6 x \tan (\frac{x}{6})$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3.1.3

式を書き換えます。

$x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3.2

$\frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 15.3.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{x^{2}}{2}$ をかけます。

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{6 \cdot 2} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

ステップ 15.3.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.3.1

$6$ を $- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)$ で因数分解します。

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

ステップ 15.3.3.2

共通因数を約分します。

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

ステップ 15.3.3.3

式を書き換えます。

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} - 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |) + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$x \tan (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{12} x^{2} - 6 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |) + C$

微分積分 例

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