微分積分例

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

ステップ 1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

ステップ 2

$u = t$ と $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

ステップ 3

$- 3$ は $t$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

ステップ 4.2

$t$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

ステップ 4.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

ステップ 5

$u = - \frac{t}{3}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{3} d t$ すると、 $- 3 d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - \frac{t}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- \frac{t}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

ステップ 5.1.2

$- \frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

ステップ 6.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

ステップ 6.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

ステップ 6.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

ステップ 7

$- 3$ は $u$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

ステップ 8

$- 3$ に $3$ をかけます。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

ステップ 10

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ を $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ に書き換えます。

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $- \frac{t}{3}$ で置き換えます。

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

ステップ 12.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

ステップ 12.3

$- 9$ に $3$ をかけます。

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$

微分積分 例

微分積分例