微分積分例

$\sum_{k = 0}^{9} {(- \frac{3}{5})}^{k}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

ステップ 2.2

${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ と ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(- \frac{3}{5})}^{k}$ を ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- \frac{3}{5}}{1}$

ステップ 2.2.2.4

$- \frac{3}{5}$ を $1$ で割ります。

$r = - \frac{3}{5}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$k$ の $0$ を ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ に代入します。

$a = {(- \frac{3}{5})}^{0}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- \frac{3}{5}$ に当てはめます。

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0}$

ステップ 3.2.1.2

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$a = {(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 1 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.3

$\frac{3^{0}}{5^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{3^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{5^{0}}$

ステップ 3.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.6

$1$ を $1$ で割ります。

$a = 1$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

積の法則を $- \frac{3}{5}$ に当てはめます。

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} {(\frac{3}{5})}^{10})}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.1.2

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} \frac{3^{10}}{5^{10}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{10}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

${(- 1)}^{10}$ を移動させます。

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot - 1 \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.2.2

${(- 1)}^{10}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + {(- 1)}^{10 + 1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.2.3

$10$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + {(- 1)}^{11} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ を $11$ 乗します。

$\frac{1 - \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.4

$3$ を $10$ 乗します。

$\frac{1 - \frac{59049}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.5

$5$ を $10$ 乗します。

$\frac{1 - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{9765625}{9765625} - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{9765625 - 59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.2.8

$9765625$ から $59049$ を引きます。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- - \frac{3}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

ステップ 5.3.1.2

$\frac{3}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + \frac{3}{5}}$

ステップ 5.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

ステップ 5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

ステップ 5.3.4

$5$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{8}{5}}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{9706576}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

ステップ 5.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$8$ を $9706576$ で因数分解します。

$\frac{8 (1213322)}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cdot 1213322}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

ステップ 5.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1213322}{9765625} \cdot 5$

ステップ 5.6

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$5$ を $9765625$ で因数分解します。

$\frac{1213322}{5 (1953125)} \cdot 5$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{1213322}{5 \cdot 1953125} \cdot 5$

ステップ 5.6.3

式を書き換えます。

$\frac{1213322}{1953125}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1213322}{1953125}$

10進法形式：

$0.62122086 \dots$

微分積分 例

微分積分例