微分積分例

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} d t$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}} d t]$

ステップ 1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 1.3.2

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

ステップ 2

微積分学の基本定理を利用して、 $x$ に関する $\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

微分積分 例