微分積分例

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ を ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 2

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $- k$ と $k$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 3

総和則では、 $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ の $k$ に関する積分は $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ です。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 4

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 5

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $k$ に関する $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $- k$ の微分係数は $- \frac{d}{d k} [k]$ です。

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 7

微積分学の基本定理を利用して、 $k$ に関する $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ の微分係数を取ります。

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- k$ で因数分解します。

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

積の法則を $- (k)$ に当てはめます。

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.2.3

$k^{2}$ に $1$ をかけます。

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3

$k^{2}$ から $k^{2}$ を引きます。

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

式を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

共通因数を約分します。

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.5.2

式を書き換えます。

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.6

指数を求めます。

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.7

0を掛けます。

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ステップ 8.7.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.7.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.8

$k^{2}$ から $k^{2}$ を引きます。

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.9

式を簡約します。

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ステップ 8.9.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 8.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.10.1

共通因数を約分します。

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 8.10.2

式を書き換えます。

$0 + 0^{1}$

ステップ 8.11

指数を求めます。

$0 + 0$

ステップ 8.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

微分積分 例

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