微分積分例

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\cos (x) - - \sin (x)$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $\cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \sin (x) + \cos (x)$ です。

$- \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.3

分数を分解します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.6

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.1

共通因数を約分します。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.6.2

式を書き換えます。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.7

分数を分解します。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 1.2.9

$0$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

ステップ 1.2.10

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$- \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 1.2.11

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 1.2.12

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.12.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.12.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.12.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.12.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 1.2.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 1.2.14

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.14.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.15

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.16.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.16.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 1.2.16.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.16.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 1.2.16.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.17.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.2.17.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.2.17.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \sin (0) + \cos (0)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = - 0 + \cos (0)$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + \cos (0)$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f'' (0) = 0 + 1$

ステップ 4.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

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