微分積分例

$f (x) = x^{7} \ln (x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$x^{7}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$x^{7}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$x$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.2.2.5

$x^{6}$ を $1$ で割ります。

$x^{6} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})$

ステップ 1.1.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

総和則では、 $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{6} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{6} \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ です。

$6 x^{5} + 7 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2.2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 x^{5} + 7 (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 1.1.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$6 x^{5} + 7 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + 7 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.5

$x^{6}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.6.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$6 x^{5} + 7 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.2.6.2.5

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{5} + 7 (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.3

簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$6 x^{5} + 7 x^{5} + 7 (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.2.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$6$ に $7$ をかけます。

$6 x^{5} + 7 x^{5} + 42 (\ln (x) (x^{5}))$

ステップ 1.1.2.3.2.2

$6 x^{5}$ と $7 x^{5}$ をたし算します。

$13 x^{5} + 42 \ln (x) x^{5}$

ステップ 1.1.2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$ です。

$13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x)$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$13 x^{5} + 42 x^{5} \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $13 x^{5}$ を引きます。

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$

ステップ 1.2.3

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$ の各項を $42 x^{5}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$42 x^{5} \ln (x) = - 13 x^{5}$ の各項を $42 x^{5}$ で割ります。

$\frac{42 x^{5} \ln (x)}{42 x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$42$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{42 x^{5} \ln (x)}{42 x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{5} \ln (x)}{x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.2.2

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{5} \ln (x)}{x^{5}} = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 13 x^{5}}{42 x^{5}}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 13}{42}$

ステップ 1.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{13}{42}$

ステップ 1.2.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{13}{42}}$

ステップ 1.2.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{13}{42}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{13}{42}} = x$

ステップ 1.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{13}{42}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{13}{42}}$

ステップ 1.2.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{7} \ln (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0.37$ で置換えます。

$f'' (0.37) = 13 {(0.37)}^{5} + 42 {(0.37)}^{5} \ln (0.37)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0.37$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.37) = 13 \cdot 0.00693439 + 42 {(0.37)}^{5} \ln (0.37)$

ステップ 4.2.1.2

$13$ に $0.00693439$ をかけます。

$f'' (0.37) = 0.09014714 + 42 {(0.37)}^{5} \ln (0.37)$

ステップ 4.2.1.3

$0.37$ を $5$ 乗します。

$f'' (0.37) = 0.09014714 + 42 \cdot (0.00693439 \ln (0.37))$

ステップ 4.2.1.4

$42$ に $0.00693439$ をかけます。

$f'' (0.37) = 0.09014714 + 0.29124461 \ln (0.37)$

ステップ 4.2.1.5

対数の中の $0.29124461$ を移動させて $0.29124461 \ln (0.37)$ を簡約します。

$f'' (0.37) = 0.09014714 + \ln ({0.37}^{0.29124461})$

ステップ 4.2.1.6

$0.37$ を $0.29124461$ 乗します。

$f'' (0.37) = 0.09014714 + \ln (0.74858492)$

ステップ 4.2.2

$0.09014714$ と $\ln (0.74858492)$ をたし算します。

$f'' (0.37) = - 0.19942348$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 0.19942348$ です。

$- 0.19942348$

ステップ 4.3

$f'' (0.37)$ が負なので、区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 13 {(3)}^{5} + 42 {(3)}^{5} \ln (3)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$3$ を $5$ 乗します。

$f'' (3) = 13 \cdot 243 + 42 {(3)}^{5} \ln (3)$

ステップ 5.2.1.2

$13$ に $243$ をかけます。

$f'' (3) = 3159 + 42 {(3)}^{5} \ln (3)$

ステップ 5.2.1.3

$3$ を $5$ 乗します。

$f'' (3) = 3159 + 42 \cdot (243 \ln (3))$

ステップ 5.2.1.4

$42$ に $243$ をかけます。

$f'' (3) = 3159 + 10206 \ln (3)$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $3159 + 10206 \ln (3)$ です。

$3159 + 10206 \ln (3)$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{13}{42}}})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{1}{e^{\frac{13}{42}}}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例