微分積分例

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $10 x - 10 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$10$ に $1$ をかけます。

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 e^{- x}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 1.1.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.1.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 1.1.1.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$10 - 10 (- e^{- x})$

ステップ 1.1.1.3.8

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$10 + 10 e^{- x}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $10 e^{- x} + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 e^{- x}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.2.8

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$- 10 e^{- x} + 0$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 10 e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 10 e^{- x}$ です。

$- 10 e^{- x}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 10 e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 10 e^{- x} = 0$

ステップ 1.2.2

$- 10 e^{- x} = 0$ の各項を $- 10$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 10 e^{- x} = 0$ の各項を $- 10$ で割ります。

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- 10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $- 10$ で割ります。

$e^{- x} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 1.2.4

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 1.2.5

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が負なので、グラフは下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例