微分積分例

$g (x) = x^{8} - 4 x^{6}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{8} - 4 x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$

ステップ 1.1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{6}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$8 x^{7} - 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} - 4 (6 x^{5})$

ステップ 1.2.3

$6$ に $- 4$ をかけます。

$8 x^{7} - 24 x^{5}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $8 x^{7} - 24 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}]$ です。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{5})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{7}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{7}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$g'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{5})$

ステップ 2.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = 8 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{5})$

ステップ 2.2.3

$7$ に $8$ をかけます。

$g'' (x) = 56 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{5})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{5}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$g'' (x) = 56 x^{6} - 24 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 2.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = 56 x^{6} - 24 (5 x^{4})$

ステップ 2.3.3

$5$ に $- 24$ をかけます。

$g'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$8 x^{7} - 24 x^{5} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{8} - 4 x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{6}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$8 x^{7} - 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{7} - 4 (6 x^{5})$

ステップ 4.1.2.3

$6$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{7} - 24 x^{5}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $8 x^{7} - 24 x^{5}$ です。

$8 x^{7} - 24 x^{5}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x^{7} - 24 x^{5} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x^{7} - 24 x^{5} = 0$

ステップ 5.2

$8 x^{5}$ を $8 x^{7} - 24 x^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$8 x^{5}$ を $8 x^{7}$ で因数分解します。

$8 x^{5} (x^{2}) - 24 x^{5} = 0$

ステップ 5.2.2

$8 x^{5}$ を $- 24 x^{5}$ で因数分解します。

$8 x^{5} (x^{2}) + 8 x^{5} (- 3) = 0$

ステップ 5.2.3

$8 x^{5}$ を $8 x^{5} (x^{2}) + 8 x^{5} (- 3)$ で因数分解します。

$8 x^{5} (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{5} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 5.4

$x^{5}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{5}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{5} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 5.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 5.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 5.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5.6

最終解は $8 x^{5} (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4}$

ステップ 9.1.2

$56$ に $0$ をかけます。

$0 - 120 {(0)}^{4}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 120 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$- 120$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $8 x^{7} - 24 x^{5}$ の区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$g' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 24 {(- 4)}^{5}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $7$ 乗します。

$g' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 24 {(- 4)}^{5}$

ステップ 10.2.2.1.2

$8$ に $- 16384$ をかけます。

$g' (- 4) = - 131072 - 24 {(- 4)}^{5}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 4$ を $5$ 乗します。

$g' (- 4) = - 131072 - 24 \cdot - 1024$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 24$ に $- 1024$ をかけます。

$g' (- 4) = - 131072 + 24576$

ステップ 10.2.2.2

$- 131072$ と $24576$ をたし算します。

$g' (- 4) = - 106496$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 106496$ です。

$- 106496$

ステップ 10.3

一次導関数 $8 x^{7} - 24 x^{5}$ の区間 $(- \sqrt{3}, 0)$ から $- 1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$g' (- 1) = 8 {(- 1)}^{7} - 24 {(- 1)}^{5}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 1$ を $7$ 乗します。

$g' (- 1) = 8 \cdot - 1 - 24 {(- 1)}^{5}$

ステップ 10.3.2.1.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$g' (- 1) = - 8 - 24 {(- 1)}^{5}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 1$ を $5$ 乗します。

$g' (- 1) = - 8 - 24 \cdot - 1$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 24$ に $- 1$ をかけます。

$g' (- 1) = - 8 + 24$

ステップ 10.3.2.2

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$g' (- 1) = 16$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 10.4

一次導関数 $8 x^{7} - 24 x^{5}$ の区間 $(0, \sqrt{3})$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$g' (1) = 8 {(1)}^{7} - 24 {(1)}^{5}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$g' (1) = 8 \cdot 1 - 24 {(1)}^{5}$

ステップ 10.4.2.1.2

$8$ に $1$ をかけます。

$g' (1) = 8 - 24 {(1)}^{5}$

ステップ 10.4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$g' (1) = 8 - 24 \cdot 1$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 24$ に $1$ をかけます。

$g' (1) = 8 - 24$

ステップ 10.4.2.2

$8$ から $24$ を引きます。

$g' (1) = - 16$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 10.5

一次導関数 $8 x^{7} - 24 x^{5}$ の区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$g' (4) = 8 {(4)}^{7} - 24 {(4)}^{5}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$4$ を $7$ 乗します。

$g' (4) = 8 \cdot 16384 - 24 {(4)}^{5}$

ステップ 10.5.2.1.2

$8$ に $16384$ をかけます。

$g' (4) = 131072 - 24 {(4)}^{5}$

ステップ 10.5.2.1.3

$4$ を $5$ 乗します。

$g' (4) = 131072 - 24 \cdot 1024$

ステップ 10.5.2.1.4

$- 24$ に $1024$ をかけます。

$g' (4) = 131072 - 24576$

ステップ 10.5.2.2

$131072$ から $24576$ を引きます。

$g' (4) = 106496$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $106496$ です。

$106496$

ステップ 10.6

$x = - \sqrt{3}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - \sqrt{3}$ は極小値です。

$x = - \sqrt{3}$ は極小値です

ステップ 10.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 10.8

$x = \sqrt{3}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \sqrt{3}$ は極小値です。

$x = \sqrt{3}$ は極小値です

ステップ 10.9

$g (x) = x^{8} - 4 x^{6}$ の極値です。

$x = - \sqrt{3}$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = \sqrt{3}$ は極小値です

$x = - \sqrt{3}$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = \sqrt{3}$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例