微分積分例

$e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 1.5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 1.5 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- 1.5 x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.5 x^{2}$ の微分係数は $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 1.5$ をかけます。

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

ステップ 2.1.3.2

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x^{2}}] + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 1.5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 1.5 x^{2}$ とします。

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- 1.5 x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 1.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.5 x^{2}$ の微分係数は $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4.3

$2$ に $- 1.5$ をかけます。

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- 3 (x^{1} x (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 3 (x^{1} x^{1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 (x^{1 + 1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (x^{2} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8.2

$- 3$ を $e^{- 1.5 x^{2}}$ の左に移動させます。

$- 3 (x^{2} (- 3 \cdot e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \cdot 1)$

ステップ 2.2.10

$e^{- 1.5 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}})$

ステップ 2.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

分配則を当てはめます。

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}})) - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2.2.11.2

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2.2.11.3

項を並べ替えます。

$9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2.2.11.4

$9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ です。

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3 e^{- 1.5 x^{2}}$ を $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 e^{- 1.5 x^{2}}$ を $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}}$ で因数分解します。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$3 e^{- 1.5 x^{2}}$ を $- 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ で因数分解します。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1) = 0$

ステップ 3.2.1.3

$3 e^{- 1.5 x^{2}}$ を $3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1)$ で因数分解します。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.2.2

$3 x^{2}$ を ${(1.7320508 x)}^{2}$ に書き換えます。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.2.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 3.2.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1.7320508 x$ であり、 $b = 1$ です。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ((1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1)) = 0$

ステップ 3.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

$1.7320508 x + 1 = 0$

$1.7320508 x - 1 = 0$

ステップ 3.4

$e^{- 1.5 x^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$1.7320508 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1.7320508 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$1.7320508 x + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $1.7320508 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$1.7320508 x = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$1.7320508 x = - 1$ の各項を $1.7320508$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$1.7320508 x = - 1$ の各項を $1.7320508$ で割ります。

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

$1.7320508$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{1.7320508}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.3.1

$- 1$ を $1.7320508$ で割ります。

$x = - 0.57735026$

ステップ 3.6

$1.7320508 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$1.7320508 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$1.7320508 x - 1 = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $1.7320508 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$1.7320508 x = 1$

ステップ 3.6.2.2

$1.7320508 x = 1$ の各項を $1.7320508$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$1.7320508 x = 1$ の各項を $1.7320508$ で割ります。

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

ステップ 3.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.2.1

$1.7320508$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

ステップ 3.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{1.7320508}$

ステップ 3.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.3.1

$1$ を $1.7320508$ で割ります。

$x = 0.57735026$

ステップ 3.7

最終解は $3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 0.57735026, 0.57735026$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 0.57735026$ を $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 0.57735026$ で置換えます。

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 {(- 0.57735026)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 0.57735026$ を $2$ 乗します。

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1.5$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$f (- 0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

ステップ 4.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ です。

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ で代入して $- 0.57735026$ 求めた点は、 $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

ステップ 4.3

$0.57735026$ を $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $0.57735026$ で置換えます。

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 {(0.57735026)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$0.57735026$ を $2$ 乗します。

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1.5$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$f (0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

ステップ 4.3.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

ステップ 4.3.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ です。

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

ステップ 4.4

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ で代入して $0.57735026$ 求めた点は、 $(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 0.57735026) \cup (- 0.57735026, 0.57735026) \cup (0.57735026, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 0.57735026)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.67735026$ で置換えます。

$f'' (- 0.67735026) = 9 {(- 0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$9$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1.5$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.6

$4.12923048$ と $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.8

$2.71828182$ を $0.68820508$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.9

$4.12923048$ を $1.99014018$ で割ります。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.10

$- 0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

ステップ 6.2.1.11

$- 1.5$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

ステップ 6.2.1.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

ステップ 6.2.1.13

$- 3$ と $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

ステップ 6.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

ステップ 6.2.1.15

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

ステップ 6.2.1.16

$2.71828182$ を $0.68820508$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

ステップ 6.2.1.17

$3$ を $1.99014018$ で割ります。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

ステップ 6.2.1.18

$- 1$ に $1.50743149$ をかけます。

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

ステップ 6.2.2

$2.07484403$ から $1.50743149$ を引きます。

$f'' (- 0.67735026) = 0.56741253$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.56741253$ です。

$0.56741253$

ステップ 6.3

$- 0.67735026$ で二次導関数は $0.56741253$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 0.57735026)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 0.57735026)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 0.57735026, 0.57735026)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 9 {(0)}^{2} e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 9 \cdot (0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 \cdot 0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$- 1.5$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 e^{0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0}$

ステップ 7.2.1.8

$- 1.5$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 3 e^{0}$

ステップ 7.2.1.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.10

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 3$

ステップ 7.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f'' (0) = - 3$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 3$ です。これは負の値なので、 $(- 0.57735026, 0.57735026)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 0.57735026, 0.57735026)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0.57735026, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.67735026$ で置換えます。

$f'' (0.67735026) = 9 {(0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$9$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.4

$- 1.5$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.6

$4.12923048$ と $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ をまとめます。

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.8

$2.71828182$ を $0.68820508$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.9

$4.12923048$ を $1.99014018$ で割ります。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.10

$0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

ステップ 8.2.1.11

$- 1.5$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

ステップ 8.2.1.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

ステップ 8.2.1.13

$- 3$ と $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ をまとめます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

ステップ 8.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

ステップ 8.2.1.15

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

ステップ 8.2.1.16

$2.71828182$ を $0.68820508$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

ステップ 8.2.1.17

$3$ を $1.99014018$ で割ります。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

ステップ 8.2.1.18

$- 1$ に $1.50743149$ をかけます。

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

ステップ 8.2.2

$2.07484403$ から $1.50743149$ を引きます。

$f'' (0.67735026) = 0.56741253$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.56741253$ です。

$0.56741253$

ステップ 8.3

$0.67735026$ で二次導関数は $0.56741253$ です。これは正の値なので、 $(0.57735026, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0.57735026, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ です。

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例