微分積分例

$e^{t} - t$

ステップ 1

$e^{t} - t$ を関数で書きます。

$f (t) = e^{t} - t$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $e^{t} - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$e^{t} - \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{t} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{t} - 1$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $e^{t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (e^{t}) + \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (t) = e^{t} + \frac{d}{d t} (- 1)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = e^{t} + 0$

ステップ 3.3.2

$e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = e^{t}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$e^{t} - 1 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1.1

総和則では、 $e^{t} - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$e^{t} - \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{t} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = e^{t} - 1$

ステップ 5.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $e^{t} - 1$ です。

$e^{t} - 1$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{t} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{t} - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$e^{t} = 1$

ステップ 6.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{t}) = \ln (1)$

ステップ 6.4

左辺を展開します。

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ステップ 6.4.1

$t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{t})$ を展開します。

$t \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 6.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$t \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 6.4.3

$t$ に $1$ をかけます。

$t = \ln (1)$

ステップ 6.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$t = 0$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$t = 0$

ステップ 9

$t = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$e^{0}$

ステップ 10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 11

$t = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = 0$ は極小値です

ステップ 12

$t = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $t$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = e^{0} - (0)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1 - (0)$

ステップ 12.2.2

$1$ から $0$ を引きます。

$f (0) = 1$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 13

$f (t) = e^{t} - t$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

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