微分積分例

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ を ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x - 3$ とします。

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x - 3$ で置き換えます。

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $12$ をかけます。

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 2.3.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 12$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 2.5.2

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 2) (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}))$

ステップ 3.2

$f (x) = 2 x - 2$ および $g (x) = \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.3

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - ((2 x - 2) (12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$12$ を $2 x - 2$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (12 \cdot (2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ を ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.3.2.3

${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.3.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x - 3$ とします。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.4.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x - 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + 0)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.5.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.6

$2 x - 2$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.7

$2 x - 2$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{1 + 1} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

ステップ 3.10

総和則では、 $2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

ステップ 3.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

ステップ 3.13

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

ステップ 3.14

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

ステップ 3.15

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot 2)$

ステップ 3.15.2

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12 \cdot 2}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 3.15.3

$12$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 3.16

$- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 3.17

$- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ と $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - (\frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 3.18

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.19

指数を足して ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ に ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.19.1

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.19.3

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.1

${(2 x - 2)}^{2}$ を $(2 x - 2) (2 x - 2)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 2) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 8 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{(- 24 (4 x^{2}) - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.5.1

$4$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.5.2

$- 8$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.5.3

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.6

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 3.20.2.1.6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.7

$- 96 x^{2} + 192 x - 96$ に $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 x^{2} + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.1

$96$ を $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.1.1

$96$ を $- 96 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.1.2

$96$ を $192 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.1.3

$96$ を $- 96$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.1.4

$96$ を $96 (- x^{2}) + 96 (2 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.1.5

$96$ を $96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.1.2

$2$ を $1$ プラス $1$ に書き換える

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.1.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x^{2} + x) + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.2.3

最大公約数 $- x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x + 1) (x - 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1.8.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.4

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.5

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.6

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.8.3.9

$96$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.2

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24 \cdot \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.3

$24$ と $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.1

$24$ を $- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 (x - 3) (x + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.1.1

$24$ を $- 96 {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.1.2

$24$ を $24 (x - 3) (x + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.1.3

$24$ を $24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.2

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 ((x - 1) (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.6.1

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.6.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.7.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x (x + 1) - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.7.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.7.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.5.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.8.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.8.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.8.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.9

$- 4 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 8 x - 4 - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.10

$8 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 4 - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.5.11

$- 4$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.6

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.7

$- 1$ を $6 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) - (- 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.8

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 6 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.9

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.10

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 6 x) - 1 (7)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.11

$- (3 x^{2} - 6 x + 7)$ を $- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.20.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.3.1

$\frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - (- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

ステップ 3.20.3.2

$\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ に $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} ((x - 3) (x + 1))}$

ステップ 3.20.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)})$

ステップ 3.20.3.4

$\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$

ステップ 3.20.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

ステップ 3.20.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.5.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.5.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 3.20.5.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{((x - 3) (x + 1))}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

ステップ 3.20.5.2

積の法則を $(x - 3) (x + 1)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

ステップ 3.20.5.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.5.3.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} ((x + 1) {(x + 1)}^{2}) (x - 3)}$

ステップ 3.20.5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 2} (x - 3)}$

ステップ 3.20.5.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3} (x - 3)}$

ステップ 3.20.5.3.4

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.20.5.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.20.5.3.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

ステップ 5.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ を ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x - 3$ とします。

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 5.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x - 3$ で置き換えます。

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 5.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 1$ に $12$ をかけます。

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

ステップ 5.1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.1.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.1.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 5.1.3.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 5.1.3.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1.1

$- 12$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.5.2

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ です。

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 2 = 0$

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$2 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 6.3.2.2

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.4

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

分子を0に等しくします。

$12 = 0$

ステップ 6.4.2.2

$12 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6.5

最終解は $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 7.2.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

ステップ 7.2.1.2

積の法則を $(x - 3) (x + 1)$ に当てはめます。

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.3

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.3.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.2.3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.2.4

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 7.2.4.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.2.4.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7.2.5

最終解は ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 7.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 3$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{24 (3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 7)}{{((1) - 3)}^{3} {((1) + 1)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{24 (3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{24 (3 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{24 (3 - 6 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.1.4

$3$ から $6$ を引きます。

$\frac{24 (- 3 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.1.5

$- 3$ と $7$ をたし算します。

$\frac{24 \cdot 4}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} \cdot 2^{3}}$

ステップ 10.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 2^{3}}$

ステップ 10.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 8}$

ステップ 10.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$24$ に $4$ をかけます。

$\frac{96}{- 8 \cdot 8}$

ステップ 10.3.2

$- 8$ に $8$ をかけます。

$\frac{96}{- 64}$

ステップ 10.3.3

$96$ と $- 64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

$32$ を $96$ で因数分解します。

$\frac{32 (3)}{- 64}$

ステップ 10.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.2.1

$32$ を $- 64$ で因数分解します。

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

ステップ 10.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

ステップ 10.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{- 2}$

ステップ 10.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{12}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 \cdot 1 - 3}$

ステップ 12.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 - 3}$

ステップ 12.2.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$f (1) = \frac{12}{- 1 - 3}$

ステップ 12.2.1.4

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = \frac{12}{- 4}$

ステップ 12.2.2

$12$ を $- 4$ で割ります。

$f (1) = - 3$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 13

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ の極値です。

$(1, - 3)$ は極大値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例