微分積分例

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

ステップ 1

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$x^{2} - 5 x + 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x^{2} - 5 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.9

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.10

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.2.11

$2 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 2) (2 x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.1.6

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$5 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.3

$- 5 x$ と $9 x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.4

$6$ から $10$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

群による因数分解。

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ステップ 2.3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.2

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.3

最大公約数 $- x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 2.3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

積の法則を $(x - 3) (x - 2)$ に当てはめます。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.4

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.5

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.6

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.6

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ を ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2.2

${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 3.4.7

式を簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

ステップ 3.4.7.2

$2 {(x - 3)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

ステップ 3.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 6

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例