微分積分例

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 1$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

ステップ 3

$f (1)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

ステップ 3.2

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

ステップ 3.2.2

$\frac{π}{6}$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{π}{6})$

ステップ 3.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4

微分係数を求め、 $1$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{π}{6} x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{6} x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π}{6} x$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{π}{6}$ と $x$ をまとめます。

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{π}{6}$ と $x$ をまとめます。

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{π}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{6}$ の微分係数は $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{π}{6}$ と $\sin (\frac{π x}{6})$ をまとめます。

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

ステップ 4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

ステップ 4.3.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

ステップ 4.3.3

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

ステップ 4.3.5

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.5.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- \frac{π}{12}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{π}{12}$ をまとめます。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

ステップ 6.3

$- \frac{π}{12} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

ステップ 6.3.2

$\frac{π}{12}$ に $1$ をかけます。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例