微分積分例

$8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

ステップ 1

$8 \sin (x) \cos (x)$ を方程式で書きます。

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2

$x = \frac{π}{3}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2

$8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y = 2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y = 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.2.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$y = 4 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.4.1

$2$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.4.2

共通因数を約分します。

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.4.3

式を書き換えます。

$y = 2 \sqrt{3}$

ステップ 3

一次導関数を求め $x = \frac{π}{3}$ と $y = 2 \sqrt{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 3.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 3.13

簡約します。

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ステップ 3.13.1

分配則を当てはめます。

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 3.13.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 3.14

$x = \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15

簡約します。

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ステップ 3.15.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.15.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.15.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.3.5

指数を求めます。

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1.5.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.5.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.5.3

式を書き換えます。

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.6

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.15.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 3.15.1.8

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 3.15.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 3.15.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

ステップ 3.15.1.11

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1.11.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

ステップ 3.15.1.11.2

共通因数を約分します。

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

ステップ 3.15.1.11.3

式を書き換えます。

$- 6 + 2$

ステップ 3.15.2

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 4

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 4.1

傾き $- 4$ と与えられた点 $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2 \sqrt{3}) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 4.3

$y$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

$- 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 4.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x - 4 (- \frac{π}{3})$

ステップ 4.3.1.4

$- 4 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + 4 \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.1.4.2

$4$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + \frac{4 π}{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $2 \sqrt{3}$ を足します。

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 4.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 4.3.3.1

$2 \sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.3.3.2

$2 \sqrt{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 4.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - 4 x + \frac{4 π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 4.3.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$y = - 4 x + \frac{4 π + 6 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例