微分積分例

$y = \cot^{-1} (\sqrt{2 t})$

ステップ 1

$f (t) = \cot^{-1} (t)$ および $g (t) = \sqrt{2 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sqrt{2 t}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cot^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cot^{-1} (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sqrt{2 t}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 t}$ を ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.2

積の法則を $2 (t)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$2^{\frac{1}{2}}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 9

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 11.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

項をまとめます。

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ステップ 12.1

${\sqrt{2 t}}^{2}$ を $2 t$ に書き換えます。

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ステップ 12.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 t}$ を ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{1 + {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{1}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.5

簡約します。

$- \frac{1}{1 + 2 t} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 + 2 t}$ をかけます。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (1 + 2 t)}$

微分積分 例

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