微分積分例

$\ln^{4} (1 + e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (1 + e^{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (1 + e^{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (1 + e^{x})$ で置き換えます。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + e^{x}$ とします。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + e^{x}$ で置き換えます。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x})$

ステップ 5

$\frac{1}{1 + e^{x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

ステップ 6

項をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}} \ln^{3} (1 + e^{x})$

ステップ 6.2

$\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}}$ と $\ln^{3} (1 + e^{x})$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 4 \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$

ステップ 6.3

$4$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{4 e^{x} \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$

微分積分 例

微分積分例