微分積分例

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

ステップ 1

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ を関数で書きます。

$f (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

ステップ 2.1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = 3 t^{2} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$3 t^{2} + 27$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

総和則では、 $3 t^{2} + 27$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ です。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

$2$ に $3$ をかけます。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

$27$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

$t$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.8

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.9

$4$ と $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2.2

$4$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.3.1

$12$ を $- 12 t^{2} + 108$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.3.1.1

$12$ を $- 12 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3.1.2

$12$ を $108$ で因数分解します。

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3.1.3

$12$ を $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ で因数分解します。

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3.3

$- t^{2}$ と $3^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.4.1

$3$ を $3 t^{2} + 27$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.4.1.1

$3$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.4.1.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.4.1.3

$3$ を $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

ステップ 2.1.10.4.2

積の法則を $3 (t^{2} + 9)$ に当てはめます。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.4.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.5

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.5.1

$3$ を $12 (3 + t) (3 - t)$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.5.2.1

$3$ を $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

ステップ 2.1.10.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

ステップ 2.1.10.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

ステップ 3.3

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

ステップ 3.3.2

$3 + t$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$3 + t$ が $0$ に等しいとします。

$3 + t = 0$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$t = - 3$

ステップ 3.3.3

$3 - t$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$3 - t$ が $0$ に等しいとします。

$3 - t = 0$

ステップ 3.3.3.2

$t$ について $3 - t = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- t = - 3$

ステップ 3.3.3.2.2

$- t = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- t = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$t = 3$

ステップ 3.3.4

最終解は $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = - 3, 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 3, 3$ です。

$- 3, 3$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $t$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $t$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$3$ から $4$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

負をくくり出します。

$f' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$3$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.3.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

ステップ 6.2.3.3

$25$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

ステップ 6.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

ステップ 6.2.4.2

$3$ に $625$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

ステップ 6.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{28}{1875}$ です。

$- \frac{28}{1875}$

ステップ 6.3

$t = - 4$ で微分係数は $- \frac{28}{1875}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で減少します。

$f' (t) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 3, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $t$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

括弧を削除します。

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$3 + 0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

$3$ を $4 (3 + 0) (3 - (0))$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.2.1

$3$ を $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

ステップ 7.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$3$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.3.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

ステップ 7.2.3.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (0) = \frac{12}{81}$

ステップ 7.2.4.2

$12$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

ステップ 7.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{4}{27}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{4}{27}$ です。

$\frac{4}{27}$

ステップ 7.3

$t = 0$ で微分係数は $\frac{4}{27}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3, 3)$ で増加します。

$f' (t) > 0$ なので $(- 3, 3)$ で増加

ステップ 8

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $t$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

括弧を削除します。

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$3$ と $4$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$4$ に $7$ をかけます。

$f' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

$3$ から $4$ を引きます。

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 8.2.3.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

ステップ 8.2.3.3

$25$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

ステップ 8.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$28$ に $- 1$ をかけます。

$f' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

ステップ 8.2.4.2

$3$ に $625$ をかけます。

$f' (4) = \frac{- 28}{1875}$

ステップ 8.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (4) = - \frac{28}{1875}$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $- \frac{28}{1875}$ です。

$- \frac{28}{1875}$

ステップ 8.3

$t = 4$ で微分係数は $- \frac{28}{1875}$ です。これは負の値なので、関数は $(3, \infty)$ で減少します。

$f' (t) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3, 3)$ で増加

$(- \infty, - 3), (3, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例