微分積分例

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

ステップ 1.2

$x$ について $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

ステップ 1.2.2

左辺を展開します。

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ステップ 1.2.2.1

$\ln (7 e^{x})$ を $\ln (7) + \ln (e^{x})$ に書き換えます。

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

ステップ 1.2.2.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

ステップ 1.2.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

ステップ 1.2.3

右辺を展開します。

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ステップ 1.2.3.1

$\ln (7 x e^{x})$ を $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ に書き換えます。

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

ステップ 1.2.3.2

$\ln (7 x)$ を $\ln (7) + \ln (x)$ に書き換えます。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

ステップ 1.2.3.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

ステップ 1.2.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

ステップ 1.2.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

ステップ 1.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

ステップ 1.2.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

ステップ 1.2.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

ステップ 1.2.7

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.7.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

ステップ 1.2.7.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

ステップ 1.2.8

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

ステップ 1.2.9

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

ステップ 1.2.10

対数の定義を利用して $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.2.11

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.11.1

方程式を $\frac{1}{x} = e^{0}$ として書き換えます。

$\frac{1}{x} = e^{0}$

ステップ 1.2.11.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{x} = 1$

ステップ 1.2.11.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.11.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

ステップ 1.2.11.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x + y = 7 x e^{x}$

ステップ 1.2.11.4

$\frac{1}{x} = 1$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.11.4.1

$\frac{1}{x} = 1$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

ステップ 1.2.11.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.11.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.11.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

ステップ 1.2.11.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 1 x$

ステップ 1.2.11.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.11.4.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$1 = x$

ステップ 1.2.11.5

方程式を $x = 1$ として書き換えます。

$x = 1$

ステップ 1.3

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

ステップ 1.3.2

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$ の $1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 7 (1) \cdot e$

ステップ 1.3.2.2

$7$ に $1$ をかけます。

$y = 7 e$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 7 e)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

ステップ 3.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

ステップ 3.4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

ステップ 3.5

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

ステップ 3.6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

ステップ 3.7

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

ステップ 3.8

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

ステップ 3.9

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1

$1$ および $0$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

ステップ 3.9.2

$1$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

ステップ 3.9.3

$1$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4

簡約します。

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ステップ 3.9.4.1

簡約します。

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.2

$e$ に $1$ をかけます。

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.4

$0$ に $1$ をかけます。

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.5

$e$ と $0$ をたし算します。

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.6

簡約します。

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

ステップ 3.9.4.9

簡約します。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

ステップ 3.9.4.10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

ステップ 3.9.4.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1.1.1

分配則を当てはめます。

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10.1.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10.1.2

$e$ から $e$ を引きます。

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7 - 7 (e - 1)$

ステップ 3.10.1.5

分配則を当てはめます。

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

ステップ 3.10.1.6

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$7 - 7 e + 7$

ステップ 3.10.2

$7$ と $7$ をたし算します。

$14 - 7 e$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例