微分積分例

$y = \sqrt{x}$ , $y = x - 2$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sqrt{x} = x - 2$

ステップ 1.2

$x$ について $\sqrt{x} = x - 2$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

簡約します。

$x = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

${(x - 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$x = (x - 2) (x - 2)$

ステップ 1.2.2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 1.2.2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 1.2.2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.2.2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.2.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.2.2.3.1.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.2.2.3.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 1.2.2.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$x = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 1.2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 4 x + 4 = x$

ステップ 1.2.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 4 - x = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 4 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

ステップ 1.2.3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $- 5$ です。

$- 4, - 1 + y = x - 2$

ステップ 1.2.3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 2$

ステップ 1.2.3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.3.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.7

最終解は $(x - 4) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 1$

ステップ 1.2.4

$\sqrt{x} = x - 2$ が真にならない解を除外します。

$x = 4$

ステップ 1.3

$x = 4$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = (4) - 2$

ステップ 1.3.2

$y = (4) - 2$ の $4$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 4 - 2$

ステップ 1.3.2.2

括弧を削除します。

$y = (4) - 2$

ステップ 1.3.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$y = 2$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(4, 2)$

ステップ 2

与えられた曲線間の面積は非有界です。

有界でない面積

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例