微分積分例

$y = x - x^{5}$

ステップ 1

$x$ と $- x^{5}$ を並べ替えます。

$y = - x^{5} + x$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = - x^{5} + x$

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- x^{5} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} + 1$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{4} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 5 x^{4} = - 1$

ステップ 4.2

$- 5 x^{4} = - 1$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 5 x^{4} = - 1$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{4} = \frac{1}{5}$

ステップ 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ を $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

ステップ 4.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

ステップ 4.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

ステップ 4.4.4.2

$\sqrt[4]{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

ステップ 4.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

ステップ 4.4.4.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

ステップ 4.4.4.5

${\sqrt[4]{5}}^{4}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{5}$ を $5^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

ステップ 4.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

ステップ 4.4.4.5.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 4.4.4.5.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 4.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

ステップ 4.4.4.5.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

ステップ 4.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.5.1

${\sqrt[4]{5}}^{3}$ を $\sqrt[4]{5^{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

ステップ 4.4.5.2

$5$ を $3$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ における元の関数 $f (x) = - x^{5} + x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

${\sqrt[4]{125}}^{5}$ を $\sqrt[4]{125^{5}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.2.2

$125$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.2.3

$30517578125$ を $125^{4} \cdot 125$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.3.1

$244140625$ を $30517578125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.2.3.2

$244140625$ を $125^{4}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.3

$5$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.4

$125$ と $3125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.4.1

$125$ を $125 \sqrt[4]{125}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.4.2.1

$125$ を $3125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 5.2.3

$\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 5.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

ステップ 5.2.4.2

$5$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

ステップ 5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$5$ を $\sqrt[4]{125}$ の左に移動させます。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 5.2.6.2

$- \sqrt[4]{125}$ と $5 \sqrt[4]{125}$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 5.2.7

最終的な答えは $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ です。

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 6

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ における元の関数 $f (x) = - x^{5} + x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

${(- 1)}^{5}$ を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.2.2

${(- 1)}^{5}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.2.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

${\sqrt[4]{125}}^{5}$ を $\sqrt[4]{125^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.5.2

$125$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.5.3

$30517578125$ を $125^{4} \cdot 125$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.3.1

$244140625$ を $30517578125$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.5.3.2

$244140625$ を $125^{4}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.6

$5$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.7

$125$ と $3125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

$125$ を $125 \sqrt[4]{125}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.2.1

$125$ を $3125$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

ステップ 6.2.3

$- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 6.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

ステップ 6.2.4.2

$5$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

ステップ 6.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

ステップ 6.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 6.2.6.2

$\sqrt[4]{125}$ から $5 \sqrt[4]{125}$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 6.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 6.2.8

最終的な答えは $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ です。

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 7

関数 $f (x) = - x^{5} + x$ の水平接線は $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ です。

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例