微分積分例

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

ステップ 1.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.3

$a = x$ 、 $b = x^{2}$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

ステップ 1.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

ステップ 1.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

ステップ 1.4.2

$- 6$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

ステップ 1.4.3

$x$ を $x^{4} + 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

ステップ 1.4.3.2

$x$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

ステップ 1.4.3.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.5.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.5.3

$- 1$ を $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.5.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.5.5

$- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ を $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.6.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

ステップ 1.6.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

ステップ 1.6.1.2

$- 6$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

ステップ 1.6.1.3

$x$ を $x^{4} + 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.6.1.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

ステップ 1.6.1.3.2

$x$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

ステップ 1.6.1.3.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ で因数分解します。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.6.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.6.3

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.6.4

$- 1$ を $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.6.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.6.6

$- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ を $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

ステップ 1.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 1.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x y^{2} + x^{2} y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.2.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

ステップ 3.2.3.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

ステップ 3.2.4

項を並べ替えます。

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 3.5.2

$x y'$ を $2 x y y' + x^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$x y'$ を $2 x y y'$ で因数分解します。

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 3.5.2.2

$x y'$ を $x^{2} y'$ で因数分解します。

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 3.5.2.3

$x y'$ を $x y' (2 y) + x y' x$ で因数分解します。

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

ステップ 3.5.3

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ の各項を $x (2 y + x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ の各項を $x (2 y + x)$ で割ります。

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.2.2

$2 y + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

ステップ 3.5.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

ステップ 3.5.3.3.2

$- \frac{2 y}{2 y + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 3.5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (2 y + x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.5.3.3.3.1

$\frac{2 y}{2 y + x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

ステップ 3.5.3.3.3.2

$(2 y + x) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.5

$y$ を $- y^{2} - 2 y x$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.3.3.5.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.5.2

$y$ を $- 2 y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.5.3

$y$ を $y (- y) + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.6

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.8

$- 1$ を $- (y) - (2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.9

式を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.9.1

$- (y + 2 x)$ を $- 1 (y + 2 x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.5.3.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$y (y + 2 x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.2.1

$y (y + 2 x) = 0$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$y (y + 2 x) = 0$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

ステップ 4.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

ステップ 4.2.1.2.1.2

$y + 2 x$ を $1$ で割ります。

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

ステップ 4.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

$0$ を $y$ で割ります。

$y + 2 x = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 x = - y$

ステップ 4.2.3

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y}{2}$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.5.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.6

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.8

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.9

$24$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.10

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.11

$24$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.12

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.12.1

$\frac{- y^{3} + 192}{8}$ に $\frac{y}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.12.2

$8$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13

$- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ を ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.13.1

$(- y^{3} + 192) y$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{4})}^{2}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.7

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.8

括弧を付けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.13.9

括弧を付けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.15

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.16

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.18

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.1.19

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{- 2 y}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

ステップ 5.2.3.1.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

ステップ 5.2.3.1.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

ステップ 5.2.3.2

$- y$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

ステップ 5.2.5

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

ステップ 5.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

ステップ 5.2.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 5.2.7

$\frac{1}{y}$ に $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

ステップ 5.2.8

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

ステップ 5.2.9

$- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

ステップ 5.2.9.2

$\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

ステップ 5.2.10

$\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

ステップ 5.2.11

最終的な答えは $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ です。

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.5.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.6

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.8

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.9

$24$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.10

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.11

$24$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.12

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.12.1

$\frac{- y^{3} + 192}{8}$ に $\frac{y}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.12.2

$8$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13

$- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ を ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.13.1

$(- y^{3} + 192) y$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{4})}^{2}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.7

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.8

括弧を付けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.13.9

括弧を付けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.15

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.16

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.18

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.1.19

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 2$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{- 2 y}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

ステップ 6.2.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

ステップ 6.2.3.1.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

ステップ 6.2.3.1.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

ステップ 6.2.3.2

$- y$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

ステップ 6.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

ステップ 6.2.5

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

ステップ 6.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

ステップ 6.2.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 6.2.7

$\frac{1}{y}$ に $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

ステップ 6.2.8

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

ステップ 6.2.9

$- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

ステップ 6.2.9.2

$\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

ステップ 6.2.10

$\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

ステップ 6.2.11

最終的な答えは $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ です。

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例