微分積分例

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$27 - x^{3} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $27 - x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$- x^{3} = - 27$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $27$ を足します。

$- x^{3} + 27 = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 1$ を $- x^{3} + 27$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- (x^{3}) + 27 = 0$

ステップ 1.2.3.1.2

$27$ を $- 1 (- 27)$ に書き換えます。

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ を $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ で因数分解します。

$- (x^{3} - 27) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

ステップ 1.2.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 1.2.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

ステップ 1.2.3.4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

ステップ 1.2.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 1.2.6

$x^{2} + 3 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x^{2} + 3 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

ステップ 1.2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

ステップ 1.2.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.5

$- 1$ を $3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.5

$- 1$ を $- 3 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7

最終解は $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.3

$3$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2

$27$ と $- x^{3}$ を並べ替えます。

$y = - x^{3} + 27$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

ステップ 4

積分し、 $1$ と $3$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

ステップ 4.2

$- x^{3} + 27$ から $0$ を引きます。

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

ステップ 4.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

ステップ 4.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

ステップ 4.6

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

ステップ 4.7

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

ステップ 4.8

代入し簡約します。

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ステップ 4.8.1

$3$ および $1$ で $\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

ステップ 4.8.2

$3$ および $1$ で $27 x$ の値を求めます。

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3

簡約します。

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ステップ 4.8.3.1

$3$ を $4$ 乗します。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.4

$81$ から $1$ を引きます。

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.5

$80$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.5.1

$4$ を $80$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.5.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.5.2.4

$20$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.6

$- 1$ に $20$ をかけます。

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.7

$27$ に $3$ をかけます。

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

ステップ 4.8.3.8

$- 27$ に $1$ をかけます。

$- 20 + 81 - 27$

ステップ 4.8.3.9

$81$ から $27$ を引きます。

$- 20 + 54$

ステップ 4.8.3.10

$- 20$ と $54$ をたし算します。

$34$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例