微分積分例

$f (x) = (x - 6) e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x - 6$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

ステップ 1.3.3

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 6) e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 6 e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.4.2

$- 6 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x - 5 e^{x}$

ステップ 1.4.4

$e^{x} x - 5 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x e^{x} - 5 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 e^{x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x e^{x} + e^{x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$e^{x}$ から $5 e^{x}$ を引きます。

$x e^{x} - 4 e^{x}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x - 4 e^{x}$

ステップ 2.4.3

$e^{x} x - 4 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} - 4 e^{x}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x e^{x} - 4 e^{x}$ です。

$x e^{x} - 4 e^{x}$

微分積分 例

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