微分積分例

$g (t) = {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (t) = t^{5}$ および $g (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ で置き換えます。

$5 {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.4

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.6

項を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.6.2

$\frac{2}{2}$ と $t$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.3.1

共通因数を約分します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.6.3.2

$t$ を $1$ で割ります。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 1.2.7

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + 0)$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

$t$ と $0$ をたし算します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$

ステップ 1.2.8.2

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$ の因数を並べ替えます。

$f' (t) = 5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$

ステップ 2.2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (t \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}] + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{2}}{2} - 3$ とします。

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{2}}{2} - 3$ で置き換えます。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.4

項を簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.4.2

$\frac{2}{2}$ と $t$ をまとめます。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.3.1

共通因数を約分します。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.4.3.2

$t$ を $1$ で割ります。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.5

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + 0)) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.4.6

$t$ と $0$ をたし算します。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.5

$t$ を $1$ 乗します。

$5 (t^{1} t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.6

$t$ を $1$ 乗します。

$5 (t^{1} t^{1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (t^{1 + 1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \cdot 1)$

ステップ 2.10

${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4})$

ステップ 2.11

簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

ステップ 2.11.2

$4$ に $5$ をかけます。

$20 (t^{2} ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

ステップ 2.11.3

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ を $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 2.11.3.1

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ を $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

ステップ 2.11.3.2

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ を $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.3.3

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ を $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.1

$4 t^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.4.2

$4 t^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.4.3

公分母の分子をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2 + t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.4.4

$2$ に $4$ をかけます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{8 t^{2} + t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 2.11.4.5

$8 t^{2}$ と $t^{2}$ をたし算します。

$f'' (t) = 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$

ステップ 3.2

$f (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ および $g (t) = \frac{9 t^{2}}{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2} - 3] + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.2

$\frac{9}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{9 t^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 \cdot 9}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.3

$\frac{18}{2}$ と $t$ をまとめます。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.4

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.4.1

$2$ を $18 t$ で因数分解します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.4.2.3

式を書き換えます。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t}{1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.4.4.2.4

$9 t$ を $1$ で割ります。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.5

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + 0) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$9 t$ と $0$ をたし算します。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.3.6.2

$9$ を ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ の左に移動させます。

$5 (9 \cdot {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

ステップ 3.4

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{2}}{2} - 3$ とします。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

ステップ 3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{2}}{2} - 3$ で置き換えます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ の左に移動させます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 \cdot (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3])$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.5

項を簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.5.2

$\frac{2}{2}$ と $t$ をまとめます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.5.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.3.1

共通因数を約分します。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.5.3.2

$t$ を $1$ で割ります。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 3.5.6

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + 0))$

ステップ 3.5.7

$t$ と $0$ をたし算します。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.3

$9$ に $5$ をかけます。

$45 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.4

$3$ と $\frac{9 t^{2}}{2}$ をまとめます。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{3 (9 t^{2})}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.5

$9$ に $3$ をかけます。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.6

$3$ に $- 3$ をかけます。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

ステップ 3.6.7

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ を $45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.7.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.7.1.1

${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ を移動させます。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$

ステップ 3.6.7.1.2

${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ を移動させます。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

ステップ 3.6.7.1.3

$\frac{27 t^{2}}{2} - 9$ を移動させます。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

ステップ 3.6.7.2

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ を $45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

ステップ 3.6.7.3

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ を $5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.7.4

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ を $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$ で因数分解します。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.8

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.8.1

$9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot \frac{2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.8.2

$9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.8.3

公分母の分子をまとめます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2 + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.8.4

$2$ に $9$ をかけます。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.9

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$ の因数を並べ替えます。

$5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.10

${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ を $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ に書き換えます。

$5 t ((\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.11

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.11.1

分配則を当てはめます。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} (\frac{t^{2}}{2} - 3) - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.11.2

分配則を当てはめます。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.11.3

分配則を当てはめます。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.12.1.1

まとめる。

$5 t (\frac{t^{2} t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.12.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 t (\frac{t^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$5 t (\frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.4

$\frac{t^{2}}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2} \cdot - 3}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.5

$- 3$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{- 3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.7

$- 3$ と $\frac{t^{2}}{2}$ をまとめます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} + \frac{- 3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.1.9

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.12.2

$- \frac{3 t^{2}}{2}$ から $\frac{3 t^{2}}{2}$ を引きます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.13.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.13.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 (- 1) \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.13.1.2

共通因数を約分します。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.13.1.3

式を書き換えます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 1 (3 t^{2}) + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.13.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 3 t^{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.14

分配則を当てはめます。

$(5 t \frac{t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.15.1

$5 t \frac{t^{4}}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.15.1.1

$5$ と $\frac{t^{4}}{4}$ をまとめます。

$(t \frac{5 t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.1.2

$t$ と $\frac{5 t^{4}}{4}$ をまとめます。

$(\frac{t (5 t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$(\frac{5 (t^{1} t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{5 t^{1 + 4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.1.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.15.3

$9$ に $5$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.16.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.16.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.16.1.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.16.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.16.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{2 + 1} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.16.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.16.2

$5$ に $- 3$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.1.1

$9$ を $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.1.1.1

$9$ を $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.1.2

$9$ を $27 t^{2}$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.1.3

$9$ を $9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.2

分配則を当てはめます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.1.3.1

共通因数を約分します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.3.2

式を書き換えます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} - 6 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.5

$t^{2}$ と $3 t^{2}$ をたし算します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (4 t^{2} - 6)}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.6

$2$ を $4 t^{2} - 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.1.6.1

$2$ を $4 t^{2}$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) - 6)}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.6.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) + 2 (- 3))}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.6.3

$2$ を $2 (2 t^{2}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 \cdot 2 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.1.7

$9$ に $2$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.2

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.2.1

$2$ を $18 (2 t^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

ステップ 3.6.17.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.17.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 (1)} - 9)$

ステップ 3.6.17.2.2.2

共通因数を約分します。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 \cdot 1} - 9)$

ステップ 3.6.17.2.2.3

式を書き換えます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 t^{2} - 3)}{1} - 9)$

ステップ 3.6.17.2.2.4

$9 (2 t^{2} - 3)$ を $1$ で割ります。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2} - 3) - 9)$

ステップ 3.6.17.3

分配則を当てはめます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2}) + 9 \cdot - 3 - 9)$

ステップ 3.6.17.4

$2$ に $9$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} + 9 \cdot - 3 - 9)$

ステップ 3.6.17.5

$9$ に $- 3$ をかけます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 27 - 9)$

ステップ 3.6.18

$- 27$ から $9$ を引きます。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$

ステップ 3.6.19

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$ を展開します。

$\frac{5 t^{5}}{4} (18 t^{2}) + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$18 \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$2 (9) \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.2.4

式を書き換えます。

$9 \frac{5 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.3

$9$ と $\frac{5 t^{5}}{2}$ をまとめます。

$\frac{9 (5 t^{5})}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.4

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.5

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.5.1

$\frac{45 t^{5}}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{45 t^{5} t^{2}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.5.2

指数を足して $t^{5}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.5.2.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{45 (t^{2} t^{5})}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{45 t^{2 + 5}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.5.2.3

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.6.1

$4$ を $- 36$ で因数分解します。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 (- 9)) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 \cdot - 9) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.6.3

式を書き換えます。

$\frac{45 t^{7}}{2} + 5 t^{5} \cdot - 9 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.7

$- 9$ に $5$ をかけます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{3} t^{2} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.9

指数を足して $t^{3}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.9.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 (t^{2} t^{3}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{2 + 3} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.9.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.10

$- 15$ に $18$ をかけます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.11

$- 36$ に $- 15$ をかけます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t \cdot t^{2} + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.13

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.13.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.13.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.20.13.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t^{1}) + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{2 + 1} + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.13.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.14

$45$ に $18$ をかけます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

ステップ 3.6.20.15

$- 36$ に $45$ をかけます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

ステップ 3.6.21

$- 45 t^{5}$ から $270 t^{5}$ を引きます。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

ステップ 3.6.22

$540 t^{3}$ と $810 t^{3}$ をたし算します。

$f''' (t) = \frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

ステップ 4

$t$ に関する $g (t)$ の三次導関数は $\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$ です。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

微分積分 例

微分積分例