微分積分例

$f (x) = 6^{3 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 6^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6^{3 x} \ln (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6^{3 x} \ln (6) (3 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$6^{3 x} \ln (6) \cdot 3$

ステップ 1.2.3.2

$3$ を $6^{3 x} \ln (6)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3 \ln (6)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$ の微分係数は $3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ です。

$3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = 6^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$3 \ln (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.2.2

$a$ = $6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 \ln (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$3 \ln (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.3

$\ln (6)$ を $1$ 乗します。

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.4

$\ln (6)$ を $1$ 乗します。

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (6^{3 x} {\ln (6)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$3$ に $3$ をかけます。

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \cdot 1$

ステップ 2.10

$9$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$9 \ln^{2} (6)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$ の微分係数は $9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ です。

$9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = 6^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$9 \ln^{2} (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$9 \ln^{2} (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$9 \ln^{2} (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3

$\ln (6)$ を $1$ 乗します。

$9 (6^{3 x} (\ln^{2} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 (6^{3 x} {\ln (6)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$9 (6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$3$ に $9$ をかけます。

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \cdot 1$

ステップ 3.9

$27$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6)$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$ です。

$27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$

微分積分 例

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