微分積分例

$f (x) = x + \sin (2 x) + 5$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + \sin (2 x) + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

ステップ 1.1.3.2

$1 + 2 \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 1 + 2 \cos (2 x)$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $1 + 2 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 1.2.2.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$0 - 4 \sin (2 x)$

ステップ 1.2.3

$0$ から $4 \sin (2 x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 4 \sin (2 x)$ です。

$- 4 \sin (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2

$- 4 \sin (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 4 \sin (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $- 4$ で割ります。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 2.5

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.7.1

簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 2.7.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 2.7.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.8

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.9

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$f (x) = x + \sin (2 x) + 5$ で代入して求めた点は、 $(,)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(,)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty,)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (2 (- 0.1))$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.2)$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- 4 \sin (- 0.2)$ です。

$- 4 \sin (- 0.2)$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $0.79467732$ です。これは正の値なので、 $(- \infty,)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty,)$ で増加

ステップ 6

区間 $(, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - 4 \sin (2 (0.1))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 4 \sin (0.2)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $- 4 \sin (0.2)$ です。

$- 4 \sin (0.2)$

ステップ 6.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.79467732$ です。これは負の値なので、 $(, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(, \infty)$ で減少

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(,)$ です。

$(,)$

ステップ 8

微分積分 例

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