微分積分例

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 1

関数の微分係数を求めます。方程式が直線に接する傾きを求めるために、 $x$ の目標値における微分係数を求めます。

$\frac{d}{d x} (\sec (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 3

$y$ について方程式の微分係数は $f' (x)$ としても表すことができます。

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 4

式の変数 $x$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 5

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 6

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.4.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6.4.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 7.6.5

指数を求めます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 8

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をかけます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.6

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

ステップ 10

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

ステップ 10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 10.4.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

ステップ 10.5

指数を求めます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

ステップ 11

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{6}{9}$

ステップ 12

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 (2)}{9}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$

ステップ 13

$(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ における微分係数は $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

微分積分 例

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