微分積分例

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$h (x)$ は $[0, π]$ で連続します。

$h (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $h$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

ステップ 5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

ステップ 6

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 6.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 6.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 6.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 6.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (π)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = - \cos (0)$

ステップ 6.5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 6.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

ステップ 8

$- 1$ に $6$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ および $1$ で $\frac{u^{5}}{5}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

ステップ 11.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

ステップ 11.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

ステップ 11.2.4

$- \frac{1}{5}$ から $\frac{1}{5}$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

ステップ 11.2.5

$- 2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

ステップ 11.2.7

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

ステップ 11.2.8

$6$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

ステップ 11.2.9

$6$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

ステップ 12

分母を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

ステップ 12.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{12}{5}$ をかけます。

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

ステップ 13.2

$5$ を $π$ の左に移動させます。

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例