微分積分例

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $g (t)$ が $[2, 5]$ 上で連続かどうか求めるために、 $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{5 + t^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$5 + t^{2} \geq 0$

ステップ 1.2

$t$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $5$ を引きます。

$t^{2} \geq - 5$

ステップ 1.2.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 1.3

$\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

ステップ 1.4

$t$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 + t^{2}}$ を ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

簡約します。

$5 + t^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 + t^{2} = 0$

ステップ 1.4.3

$t$ について解きます。

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ステップ 1.4.3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$t^{2} = - 5$

ステップ 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

ステップ 1.4.3.3

$\pm \sqrt{- 5}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.3.3.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

ステップ 1.4.3.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

ステップ 1.4.3.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \pm i \sqrt{5}$

ステップ 1.4.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.4.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = i \sqrt{5}$

ステップ 1.4.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - i \sqrt{5}$

ステップ 1.4.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

ステップ 1.5

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${t | t \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${t | t \in ℝ}$

ステップ 2

$g (t)$ は $[2, 5]$ で連続します。

$g (t)$ は連続します

ステップ 3

関数 $g$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

ステップ 5

$u = 5 + t^{2}$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 5 + t^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$5 + t^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $5 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.1.3

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 t$

ステップ 5.1.5

$0$ と $2 t$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 5.2

$u = 5 + t^{2}$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 5 + 4$

ステップ 5.3.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 5.4

$u = 5 + t^{2}$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$5$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 5 + 25$

ステップ 5.5.2

$5$ と $25$ をたし算します。

$u_{upper} = 30$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

ステップ 6.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

ステップ 8.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

ステップ 8.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

ステップ 8.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$30$ および $9$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

ステップ 10.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

ステップ 10.2.3.2

式を書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

ステップ 10.2.4

指数を求めます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

ステップ 10.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

ステップ 11.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2$ を $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

ステップ 11.2.3

式を書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

ステップ 11.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

ステップ 11.3.3

式を書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

ステップ 12

$5$ から $2$ を引きます。

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

ステップ 14

$\frac{1}{3}$ と $30^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

ステップ 15

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

ステップ 15.2

共通因数を約分します。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 15.3

式を書き換えます。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例