微分積分例

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = - \frac{1}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.2.3

$4$ を ${(x^{2} - 6)}^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{2} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 6$ とします。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 6$ で置き換えます。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.2

総和則では、 $x^{2} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.5.2

$2$ を ${(x^{2} - 6)}^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.4.5.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.7

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ を $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1.1

$2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ を $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.1.2

$2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ を $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.1.3

$2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ を $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.4

$2 x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.5

$3$ を $- 3 x^{2} - 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.5.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.5.2

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.5.3

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.1.6

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.2

${(x^{2} - 6)}^{4}$ と ${(x^{2} - 6)}^{10}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.1

${(x^{2} - 6)}^{4}$ を $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

ステップ 1.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.2.1

${(x^{2} - 6)}^{4}$ を ${(x^{2} - 6)}^{10}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.3

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.6

$- (x^{2} + 4)$ を $- 1 (x^{2} + 4)$ に書き換えます。

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.8.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.9

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10.1.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10.1.3

$8$ に $6$ をかけます。

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10.1.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

ステップ 1.10.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

ステップ 1.10.2.3

$- 2$ を $6$ 乗します。

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

ステップ 1.10.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.3.1

$48$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{- 384}{64}$

ステップ 1.10.3.2

$- 384$ を $64$ で割ります。

$- - 6$

ステップ 1.10.3.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $6$ と与えられた点 $(- 2, - \frac{1}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$6$ に $2$ をかけます。

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$12$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

$12$ に $2$ をかけます。

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$24$ から $1$ を引きます。

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例